Rešene faktorizacijske vaje

The faktoring To je algebrski postopek, s katerim algebrski izraz postane produkti preprostejših izrazov. Na ta način so številni izračuni poenostavljeni.

Vaje za faktorizacijo pomagajo razumeti to tehniko, ki se veliko uporablja pri matematiki in je v postopku pisanja vsote kot produkt določenih izrazov.

Slika 1.- Z faktoriranjem algebrskega izraza se razširjen v produkt dejavnikov, s katerimi je udobno delati. Vir: f. Zapata.

Če želite ustrezno upoštevati, morate začeti tako, da vidite, ali obstajajo skupne črke in številke za vsak izraz. Na primer izraz 5x⁴ -10x³ + 25x², ki vsebuje tri izraze, lahko je mogoče opaziti, da se "x" ponavlja v vsakem, čeprav z različno močjo. Kar zadeva numerične koeficiente, so vsi večkratniki 5.

Torej, skupni dejavnik je sestavljen iz:

-Izdelek med največjim skupnim delilnikom koeficientov in

-Najmanjša moč črk, ki se pojavijo.

V primeru je skupni dejavnik:

5x²

In izraz ostaja tak:

5x⁴ - 10x³ + 25x² = 5x² ⋅ (x² - 2x + 5)

Bralec lahko prek uporabe distribucijske lastnosti preveri, ali sta oba izraza enakovredna.

[TOC]

Metode faktorizacije: kvadratna razlika

Niso vsi algebrski izrazi dejavni, kot smo pravkar storili, zato bomo tukaj pokazali, kako uporabljati več metod z rešenim korakom za korakom.

Tako se bralec z malo prakse nauči uporabiti najprimernejšo metodo v primerih, kot so:

-Binomna in trinomialna faktorizacija.

-Polinomna faktorizacija.

-Izračun polinomnih korenin.

Slika slike 1 je zelo koristna, ko se pojavi vprašanje: Kakšna faktorizacija uporablja za vajo?

Začeli bomo z razliko kvadratov, za katere se uporablja formula 1 tabele.

- Vaja rešena 1

Faktor 16x binom² - 49

Rešitev

V tem primeru se moč ne ponovi in ​​numerični koeficienti niso bratranci med seboj, kot v primeru načela. Če pa je preverjeno, da je dani izraz Razlika kvadratov, Formula 1 je mogoče uporabiti.

Vse, kar je potrebno, je prepoznati izraze do in b:

do² = 16x² → a = √ (16x²) = 4x
b² = 49 → B = 49 = 7

Ko je identificiran, nadaljujte z zamenjavo formule:

16x² - 49 = (4x + 7) (4x - 7)

Vam lahko služi: zmanjšanje podobnih izrazov

In izraz ostaja kot izdelek dva dejavnika.

V tem in v vseh primerih lahko bralec potrdi, da če rezultat razvije z distribucijsko lastnostjo, se prvotni algebrski izraz dobi nazaj.

Popolna kvadratna trinomialna faktorizacija

Ti primeri ustrezajo formulam 2 in 3 slike 1. Preden ga uporabimo, je treba preveriti, ali je izraz izpolnjen:

-Dva izraza sta popolna kvadrata do in b.

-Preostali izraz je dvojni produkt A in B, torej: 2ab.

Če je zgoraj navedeno res.

- Vaja Rešena 2

Faktor trinomial: x² + 12x + 36

Rešitev

Ta izraz se zdi primeren za uporabo formule 2 v polju, najprej pa moramo preveriti, ali je popoln kvadratni trinomial. Najprej opazimo, da sta tako prvi kot tretji izraz popolna kvadrata:

• x² Je popoln kvadrat x, saj (x)² = x²
• 36 je popoln kvadrat 6, saj 6² = 36

Tako:

a = x
B = 6

In končno je treba preveriti, ali je preostali izraz 2AB, in res:

12x = 2⋅x⋅6

Odšteva samo faktoring v skladu s formulo:

x² + 12x + 36 = (x + 6)²

- Vaja rešena 3

Napišite izraz 4x² -20x + 25 v faktorizirani obliki.

Rešitev

Ker obstaja negativni znak, bi lahko v polju služil formulo 3, vendar preden je treba preveriti, da gre za popoln kvadratni trinomial:

• 4x² To je 2x kvadrat, saj (2x)² = 4x², Zato a = 2x
• 25 Enako 5², potem b = 5
• Izraz 20x je enak 2⋅2x⋅5 = 20x

Faktorizacija ostaja taka:

4x² -20x + 25 = (2x - 5)²

Vsota in razlika kockov

Ko imate vsote ali razlike v kockah, se formule 4 ali 5 uporabljajo odvisno od primera.

- Vaja rešena 4

Faktorizirajte 8x³ - 27

Rešitev

Tu imamo razlike v kockah, zato pridobivanje kubičnega korena vsakega izraza:

Potem a = 2x in b = 3.

Sledi formula 4, kar je primerno za razliko v kockah:

8x³ - 27 = (2x-3) ⋅ [(2x)² + 2x⋅3 + 3²] = (2x-3) ⋅ (4x² + 6x + 9)

Faktorizacija z razvrščanjem pogojev

Na naslednji sliki je polinom s štirimi izrazi, ki jih je treba faktorizirati. Prvi trije izrazi imajo skupno "x", zadnji pa ne. Prav tako ne moremo reči, da so numerični koeficienti večkratniki istega faktorja.

Vam lahko služi: konveksni poligon: definicija, elementi, lastnosti, primeri

Vendar bomo poskušali razvrstiti izraze v dveh delih s oklepaji, označenimi z rumeno puščico: prva dva izraza imata skupno "X", zadnja dva.

Upoštevamo ta dve skupini (Modra puščica). Zdaj mora bralec opaziti, da se pri faktorju pojavi nov skupni dejavnik: oklepaj (3x+2).

Na dotik faktorizira drugič (roza puščica), saj je (3x+2) pogost faktor X in 5.

Slika 2. Primer, kako upoštevati izraze. Vir: f. Zapata.

Korenine polinoma

So vrednosti spremenljivke, ki prekličejo polinom. Če gre za polinom, katerega spremenljivka je "x", kot smo videli, ker gre za iskanje vrednosti x, tako da je pri zamenjavi pridobljena številčna vrednost 0.

Faktorizacija je metoda za iskanje ničla v nekaterih polinomih. Poglejmo primer:

- Vaja rešena 5

Poiščite ničle trinomialnega x² -2x - 3

Rešitev

Upoštevamo trinomialno, vendar to ni popoln kvadratni trinomial. Vendar lahko izvedemo postopek Tanteo. Trinomial smo napisali kot produkt dveh dejavnikov, kot je ta:

x² -2x - 3 = (x) . (x)

V prvi oklepaji je postavljen prvi trinomski znak, viden od leve proti desni. To je znak (-). V drugem oklepaju je produkt obeh znakov, ki se pojavita po terminu z X²:

(-) x (-) = +

Na ta način bo vidna faktorizacija:

x² -2x - 3 = (x -) . (x +)

Zdaj morate iskati dve številki A in B, ki bosta postavljena v prazne prostore. Ko se pomnoži, naj bo 3:

• A x b = 3

In tudi v skladu z dejstvom, da je pri rezultatu 2, saj so znaki oklepajev različni.

(Če so bili enaki znaki, je treba iskati dve številki A in B, ko sta dodala koeficient izraza z "x"). Tako:

• A - b = 2

Številke, ki izpolnjujejo oba pogoja, so 3 in 1, saj:

3 x 1 = 3

3 - 1 = 2

Najvišje število je nameščeno v oklepaju leve in faktorizacija ostane na naslednji način:

x² - 2x - 3 = (x - 3) . (x + 1)

Zero polinoma so vrednosti X, ki prekličejo vsak faktor:

Vam lahko služi: celo številke

x - 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 1 = 0 ⇒ x = -1

Bralec lahko preveri, ali je zamenjava teh vrednosti v izvirnem trinomiju to preklicana.

Druge vaje

- Vaja rešena 6

Faktor naslednji polinom: p (x) = x²-1.

Rešitev

Ni vedno treba uporabiti topila. V tem primeru je mogoče uporabiti izjemen izdelek.

Prepisovanje polinoma, kot sledi.

Z izjemnim izdelkom 1 je razlika kvadratov lahko polinom p (x) upoštevamo na naslednji način: p (x) = (x+1) (x-1).

To kaže tudi, da so korenine p (x) x1 = -1 in x2 = 1.

- Vaja rešena 7

Dejstvo je naslednje polinom: q (x) = x³ - 8.

Rešitev

Obstaja izjemen izdelek, ki piše naslednje: A³-B³ = (A-B) (A²+AB+B²).

Če to veste, lahko polinom q (x) napišete na naslednji način: q (x) = x³ -8 = x³ - 2³.

Zdaj je z uporabo opaznega opisanega izdelka faktorizacija polinoma Q (x) q (x) = x³-2³ = (x-2) (x²+2x+2²) = (x-2) (x²+2x++2x+ 4).

Manjkajoči faktor kvadratnega polinoma, ki je nastal v prejšnjem koraku. Če pa opazimo, lahko pomaga izjemen izdelek številka 2; Zato je končna faktorizacija Q (x) podana s Q (x) = (x-2) (x+2) ².

To pravi, da je koren q (x) x1 = 2 in da je x2 = x3 = 2 drugi koren Q (x), ki se ponavlja.

- Vaja rešena 8

Faktorizirajte r (x) = x² - x - 6.

Rešitev

Kadar ni mogoče zaznati pomembnega izdelka ali potrebne izkušnje za manipulacijo z izrazom niso na voljo, se uporaba odločnosti nadaljuje. Vrednosti so naslednje a = 1, b = -1 in c = -6.

Ko jih zamenjate v formuli, je x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-6)))/2*1 = (-1 ± √25)/2 = (-1 ± 5)/2.

Od tu sta dve rešitvi, ki sta naslednji:

x1 = (-1+5)/2 = 2

x2 = (-1-5)/2 = -3.

Zato je polinom r (x) mogoče upoštevati kot r (x) = (x-2) (x-(-3)) = (x-2) (x+3).

- Vaja rešena 9

Faktor H (x) = x³ - x² - 2x.

Rešitev

V tej vaji lahko začnete tako, da vzamete skupni faktor X in dosežemo, da je H (x) = x (x²-x-2).

Zato le še vedno upošteva kvadratni polinom. Znova uporaba topila morajo biti korenine:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-2)))/2*1 = (-1 ± √9)/2 = (-1 ± 3)/2.

Zato so korenine kvadratnega polinoma x1 = 1 in x2 = -2.

Za zaključek je faktorizacija polinoma H (x) podana s H (x) = x (x-1) (x+2).

Reference

1. Baldor. 1977. Elementarna algebra. Venezuelske kulturne izdaje.
2. Korenine polinoma. Kaj so in kako se izračunajo korak za korakom. Okreval od: ekuatio.com.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
4. Stewart, J. 2006. Predhodno: matematika za izračun. 5. Izdaja. Cengage učenje.
5. Zill, d. 1984. Algebra in trigonometrija. McGraw Hill.