Diskretna naključna spremenljivka

Pojasnjujemo, kaj je diskretna naključna spremenljivka, njegove značilnosti, dajemo primere in rešimo vaje

Kaj je diskretna naključna spremenljivka?

A diskretna naključna spremenljivka To je numerična vrednost, dobljena naključno, kot rezultat eksperimenta, in ki zahteva le končne ali računovodske vrednosti. To pomeni, da glede na dve zaporedni vrednosti spremenljivke ni vmesne vrednosti med njimi.

Primeri diskretnih spremenljivk je število cvetnih listov cvetov, koliko obrazov (ali križij) je hkrati dva kovanca, število članov ali otrok družine, število ljudi, ki živijo v hiši, in še veliko več.

V vseh primerih so rezultati izvedbe poskusa računovodstvo. Določimo lahko naključno spremenljivko, imenovano "x = število otrok družine" in ta spremenljivka lahko vzame vrednosti 0, 1, 2, 3 ..

Torej, za splošni primer, je diskretna naključna spremenljivka prepoznana z:

X = x₁, x₂, x₃... x_k

Kjer x₁, x₂, x₃... so možni rezultati poskusa.

Pogosto je zainteresirano za poznavanje verjetnosti pojavljanja vsakega od teh možnih rezultatov, označenih kot:

str₁ = P (x = x₁)

str₂ = P (x = x₂)
.
.
.

In tako naprej za vsako vrednost x. Indeks "I" se giblje od 1 do K: i = 1,2,3… k.

Ta seznam, ki vsebuje verjetnosti vsakega možnega rezultata poskusa, se imenuje Porazdelitev verjetnosti tudi Funkcija verjetnosti, pod pogojem, da je naključna spremenljivka številčna, je verjetnost vsakega dogodka med 0 in 1, vsota vseh verjetnosti.

Primeri diskretne naključne spremenljivke

Diskretne naključne spremenljivke so vedno številčne in računovodske. Običajno izmerijo, kolikokrat se zgodi dogodek, na primer:

• Število klicev, ki jih nekega popoldneva prejme klicni center.
• Znesek bančnih depozitov, narejenih v enem dnevu.
• Zaženite kocko in preberite številko, ki se prikaže na zgornjem obrazu.
• Število obrazov, ki se pojavijo pri zagonu dveh enakih valut.
• Študenti, ki so odobrili izpit algebre I, so naključno izbrali iz skupine 100 študentov inženirstva z univerze.
• Odrasli člani črede slonov v afriški rezervat.
• Število otrok na družino v določenem mestu.
• Ljudje, ki se udeležujejo funkcije polnoči.
• Število avtomobilov, ki gredo skozi cestnino na avtocesti.

Vam lahko služi: Cruz izdelek

Celotne in frakcijske vrednosti

Vse omenjene diskretne naključne spremenljivke imajo celotne vrednosti. Vendar pa lahko diskretne naključne spremenljivke definiramo z delnimi vrednostmi, na primer naključno spremenljivko F, ​​ki jo daje:

F = delež pokvarjenih kosov z naključno izbiro 50 elementov veliko

Možne vrednosti so naslednje:

• Okvarjenega dela se ne najde: f₁= 0
• Samo 1 okvarjen kos 50: f₂= 1/50 = 0.02
• Dva pokvarjena komada najdeta v 50: F₃= 2/50 = 0.04
• In tako naprej, dokler ni primera, v katerem je 50 izbranih kosov slabih: F₅₁ = 50/50 = 1

Rešene vaje

Vaja 1: Opredelite diskretne naključne spremenljivke

Imajo naključne spremenljivke, ki jih dajo:

X = število potresov na leto, ki se je zgodilo v določeni geografski coni

Y = natančna dolžina človeškega stopala

Z = Velikost obutve za odrasle

R = trajanje klica na a Klicni center

So vse diskretne naključne spremenljivke? Utemelji odgovor.

Rešitev

Spremenljivke X in Z so diskretne, saj je število potresov v enem letu računovodski znesek. Po drugi strani so velikosti obutve končne, oštevilčenje se lahko razlikuje glede na državo, na primer 6, 6.5, 7 ..., vendar je tudi končni znesek.

Po drugi strani lahko natančna dolžina človeškega stopala vzame katero koli vrednost. Na primer med dvema osebama, katerih stopala iz merita 23.5 in 23.8 cm, vedno je mogoče najti drugega, čigar mera stopala, recimo 23.6 cm. Ta vrsta spremenljivke je tudi naključna, vendar se nadaljuje.

Kar se tiče časa, ki traja telefonski klic, ni diskretna spremenljivka, saj med dvema kratkoma obstajajo neskončne vrednosti₁ in t₂ trajanje.

Vam lahko služi: cele številke

Vaja 2: Hkratna dva kovanca

Poskus je sestavljen iz hkratnega lansiranja dveh enakih valut, za katere je definirana naključna spremenljivka x = število obrazov. Najti:

a) vrednosti, ki jih vzame x.

b) porazdelitev verjetnosti

Rešitev

Možni rezultati poskusa so naslednji: noben drago (Dva tesnila), a drago in a tjulnje, a tjulnje in eno drago In končno, dva obraze.

Zanikanje obraza kot C in pečata kot S, rezultati so povzeti na naslednji način:

Ω = (s, s); (C, s); (S, c); (DC)

Ta komplet je znan kot Vzorčni prostor.

Zato naključna spremenljivka x vzame vrednosti: 0 (brez obraza), 1 (en obraz v obeh kovancih) in 2 (v obeh kovancih je bilo drago). Ker so rezultati računovodstvo, je spremenljivka poleg naključnega diskretna:

X = 0,1,2

Rešitev b

Ko se kovanec sproži, če je iskren, drago tudi tjulnje Imajo enako možnost za odhod, enako ½. Če se torej zaženeta dva kovanca hkrati, saj so rezultati neodvisni, ker kovanci ne vplivajo drug na drugega, verjetnost, da pridobijo dve strani (ali dve križi), pomnoži verjetnost vsakega dogodka.

Če dobita dva križe, to pomeni, da ni izšel nobenega obraza:

P (2 križa = 0 obraza) = p (x = 0) = ½ ∙ ½ = ¼

Po drugi strani je verjetnost kombinacije CS ali SC vsota obeh ugodnih verjetnosti:

P (1 obraz) = p (x = 1) = ¼ + ¼ = ½

Končno je verjetnost pridobitve dveh obrazov::

P (2 obraza) = p (x = 2) = ½ ∙ ½ = ¼

Upoštevajte, da ta porazdelitev verjetnosti izpolnjuje zahteve, določene na začetku:

Verjetnost vsakega dogodka je med 0 in 1.

Z dodajanjem treh verjetnosti 1: ¼ + ½ + ¼ = 1

Vam lahko služi: colinealni vektorji Histogram prikazuje porazdelitev verjetnosti za zagon dveh enakih valut. V vodoravni osi je nameščena naključna spremenljivka, središče palice pa ustreza vrednosti spremenljivke. In v navpični osi je verjetnost postavljena, v tem primeru odstotek. Vir: f. Zapata.

Vaja 3: Dvržete uravnotežene kocke

Poskus je sestavljen iz metanja uravnotežene kocke dvakrat. Naključna spremenljivka, ki je opredeljena, je:

X = Številokrat izide 1

a) Naštejte možne rezultate poskusa in določite vrednosti naključne spremenljivke.

b) Poiščite svojo distribucijo verjetnosti.

Rešitev

Ker gre za uravnotežene kocke, imajo vsi obrazi enako verjetnost za odhod, in ker je kocka kocka s šestimi obrazi, je ta verjetnost enaka 1/6.

Možne rezultate poskusa je mogoče sintetizirati na naslednji način:

• Ne dobiš 1 ali enkrat: x₁= 0
• 1 izide samo enkrat: x₂= 1
• Obe izstrelitvi sta 1: x₃= 2

Zato je naključna spremenljivka x diskretna in ima tri vrednosti:

X = 0,1,2

Rešitev b

Kar zadeva porazdelitev verjetnosti te spremenljivke, je prva stvar opaziti, da je nabor vseh možnih rezultatov sestavljen iz 36 parov, ki sestavljajo vzorčni prostor:

Ω = (1,1), (1.2), (1.3)… (1.6); (2,1), (2,2), (2,3); (3,1), (3,2), (3,3); (4.1), (4,2)… (4.6); (5,1), (5,2)… (5.6); (6,1), (6.2)… (6.6)

-Zdaj se štejejo ti pari, v katerih 1 ni pridobljen:

x₁ = (X = 0) = (2,2), (2,3)… (2,6); (3,2), (3,3)…; (4.2), (4,3)…; (5,2), (5.3)…; (6.2), (6.3)…

Skupno je 25 parov, v katerih 1 ne izide, zato je verjetnost pridobitve katerega koli od teh vrstnikov:

str₁ = P (x = 0) = 25/36

-Nato vrstniki, v katerih se 1 pojavi samo enkrat:

x₂ = (X = 1) = (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1) ( 4.1), (5.1), (6,1)

Zato je 10 parov:

str₂ = P (x = 1) = 10/36 = 5/18

-Končno je samo en par, v katerem 1 izide dvakrat: (1,1). Tako:

str₃ = P (x = 2) = 1/36