The faktorial zapis Uporablja se za izračun izdelka prvega n Naravna številka, torej pozitivna cela števila, ki se začne od 1 do vrednosti n. Označuje ga znak občudovanja in se imenuje n faktorial:

n! = 1⋅2⋅3… . (N-1) ⋅n

Izračun faktoriranja števila je preprost, na primer, produkt prvih šestih naravnih številk je izražen z:

6! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 720

Slika 1. Faktorski zapis lahko piše kompakten simbol izdelka od k = 1 do n. Vir: f. Zapata.

Dejavniki se pojavljajo pri vprašanjih, kot je Newtonova binomna in kombinatorična teorija, ki se pogosto uporablja pri izračunu verjetnosti. V teh se pogosto pojavljajo klici Kombinirane številke ki je mogoče izraziti kot faktorsko.

Zapis n! Je ustvarjanje francoskega zdravnika in matematike. Neodvisno je faktorje odkril tudi drug francoski matematik: Louis Arbogast (1759-1803), Kramp Contemporary.

Kot pri povzetkih je tudi na povzetek način izražanja izdelka prvih n naravnih števil:

 Simbol, podoben kapitalski črki "pi", ki se pojavlja v izrazu, se imenuje "proizvajanje" ali "multiplikatorno".

Faktorske lastnosti

Naj bo M in N dva pozitivna cela števila, izpolnjena je:

1. Z udobjem je bilo dogovorjeno določiti 0! Enako kot 1, to je: 0! = 1.
2. Vrednost 1! = 1
3. DA! = b!, To pomeni, da je a = b, pod pogojem, da je a⋅B ≠ 0. Izjema so vrednosti 0 in 1, saj 1! = 1 = 0!, Kot je navedeno, vendar je jasno, da 1 ≠ 0.
4. Da m < n, entonces m! < n! in zato m! Vsebuje v n!:
   n! = 1⋅2⋅ 3⋅ 4… (m -1) ⋅m… n
5. Za n večje od ali enake 2, morate:
   n! = N⋅ (n-1)!
   Ker v skladu z definicijo:
   n! = [1⋅2⋅3⋅ 4ško… . (N-1)] ⋅n
   Izraz, vsebovan v kvadratnih oklepajih, je natančno (N-1)!
6. N⋅n! = (n+1)! - n!
   Dejansko dvig delovanja desne strani enakosti:
   (N+1)! - n! = [1 ⋅ 2⋅ 3⋅ 4ško 5… n ⋅ (n+1)] - [1 ⋅2⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5… . n] =
   = [1⋅2⋅3⋅ 4 ⋅ 5… . N] ⋅ [(n+1) - 1] = [1 ⋅2⋅3 4 ⋅5… . n] ⋅ n = n! ⋅ n

Vam lahko služi: konvergenčni radio: definicija, primeri in vaje rešene

Co-faktorial, pol-data ali kvazi-fakutorice števila

Pol -aksorrialos naravnega števila je odvisen od tega, ali je enakomerna ali neparna. V zapisu se uporablja dvojni znak občudovanja ali dvojnega faktorija in opredeljen z naslednjim pravilom:

-Če je n celo:

n!! = 2⋅4⋅6⋅8… n

-Če je n čuden:

n!! = 1⋅3⋅5⋅7… n

Formule za polfaktoriale

Naslednje formule pomagajo lažje izračunati polfaktoriale, še posebej, če gre za veliko število.

Za primer opazimo naslednje, da je n celo:

n!! = (2⋅1) ⋅ (2⋅2) ⋅ (2⋅3) ⋅ (2⋅4)… 2⋅ (n/2) = (2⋅ 2⋅2⋅2.…) ⋅ [1⋅2⋅3⋅4… (n/2)] =

= 2^(N/2) . (N/2)!

In če je n čuden, potem:

n!! = 1⋅3⋅5⋅7… n

Pomnožitev in delitev hkrati [2 . 4 . 6… (n - 1)], izraz ostane:

n!! = [1mero

Toda znesek med tipkami je:

1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7… . (N -1) ⋅n

In to je n!, Kot je razvidno zgoraj, potem pri zamenjavi:

n!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)]

Kaj je na kvadratu, je napisano tako:

[2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = 2^[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!

Zato:

n!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = n! ÷ 2^[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!

Primeri

Zgornje lastnosti se uporabljajo za poenostavitev izrazov, ki vsebujejo faktorične, ob upoštevanju, da na splošno naslednji izrazi niso enakovredni:

1. (m ± n)! ≠ m! ± n!
2. (m x n)! ≠ m! x n!
3. (m ÷ n)! ≠ m! ÷ n!
4. (mⁿ)! ≠ (m!)ⁿ
5. (m!)! ≠ m!!

Primer 1

Pri neposrednem izračunu teh faktorijev:

do 5!

Lahko vam služi: verjetnost frekvence: koncept, kako se izračuna in primeri

b) 8!

c) 4!!

d) 11!!

e) 14!!

f) (2n+1)!!

Vrednosti dobimo:

do 5! = 5 . 4. 3. 2. 1 = 120

b) 8! = 8 . 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 40320

c) 4!! = 2⋅4 = 8

d) 11!! = 11⋅ 9 ⋅7⋅5⋅1 = 10395

e) 14!! = 14⋅12⋅10⋅8⋅4⋅2 = 645120

f) (2n+1)!! = 1⋅3⋅5⋅7… (2n-3) ⋅ (2n-1) ⋅ (2n+1)

Rezultati od a) do e) lahko potrdite tudi s kalkulatorjem. Znanstveni kalkulatorji imajo funkcijo za neposredno izračun vrednosti x!.

Kot je razvidno, so rezultati faktorijev, razen z majhnim številom, vrednosti, ki zelo hitro rastejo.

Primer 2

Naslednje frakcijske izraze lahko pri uporabi lastnosti poenostavimo:

Rešene vaje

Vaja rešena 1

Preverite s formulo sodelavcev, ti rezultati so bili predhodno pridobljeni:

a) 11!! = 10395

b) 14!! = 645120

Rešitev

Ker je 11 nenavadno, se vrednosti skrbno zamenjajo v ustrezni formuli:

n!! = n! ÷ 2^[(N-1)/2] . [(N-1)/2)]!

In potem rezultat poenostavlja lastnosti faktorijev:

enajst!! = 11! ÷ 2^[(11-1)/2] . [(11-1)/2)]! = 11! ÷ 2^[(10)/2] . [(10)/2)]! = 11! ÷ 2⁵ . 5! = (11 . 10. 9. 8. 7. 6. 5!) ÷ [(32). 5!] = (11⋅10⋅9 ⋅ 8⋅7⋅6) ÷ 32 = 10395

Kot je bilo pričakovano, je bil enak rezultat dosežen kot z izračunom 11!! Neposredno pa je uporaba formule ugodna za veliko N vrednost, saj omogoča izražanje dvojnega faktorija kot produkta dveh dejavnikov.

Rešitev b

Z uporabo polfaktorske formule za n katran in zamenjavo vrednosti dobimo naslednje:

14!!= 2^(14/2) ⋅ (14/2)! = 2⁷ ⋅ 7! = 128 × 5040 = 645120

Vaja Rešena 2

Naslednje operacije napišite kot faktorske količnike:

a) 7⋅6⋅5⋅4⋅3

b) n⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3)

c) (n-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9)

Rešitev

7⋅6⋅5⋅4⋅3 = 7! / 2!

Rešitev b

N⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3) = n! / (N - 4)!

Rešitev c

(N-1) ⋅ (N-2) .. .(N-9) = (n-1)! / (N-10)!

Vaja rešena 3

Obstajajo 4 kvadratke barv: modra, oranžna, vijolična in zelena, in se želite najti drug drugega za drugim na mizi. Koliko načinov lahko postavimo kvadratke?

Vam lahko služi: stalna funkcija: značilnosti, primeri, vaje Slika 2. Koliko kombinacij lahko naredimo s poravnavo štirih kvadratov barv?. Rezultat je mogoče izraziti kot faktorski vir: f. Zapata.

Rešitev

Obstaja več načinov za odstranjevanje kvadratov, na primer najprej barvo. Tu je nekaj možnosti:

-Modra, oranžna, vijolična in zelena

-Modra, zelena, oranžna in vijolična

-Modra, vijolična, zelena in oranžna

In tako naprej. Bralec lahko preveri, ali obstaja 6 kombinacij kvadratov, ki se začnejo z modro.

Upoštevajte, da ko nastavite barvo kot prvo možnost, lahko popravite ostale 3 barve. Ko je drugi pritrjen, lahko izberete 2 in ko je izbrana ta barva, ostane samo 1 barva.

To je mogoče izraziti z izdelkom: 4⋅3⋅2⋅1, ki je faktor 4!:

4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24

Ugotovljeno je, da skupno obstaja 24 možnih kombinacij.

Na ta način organizacije se imenuje permutacija, v katerem so postavljeni vrstni red.

Vaja rešena 4

Rešite naslednje enačbe:

a) (x² + x)! = 720

Rešitev

Na začetku je bilo videti, da je 6! = 720, torej:

(x² + x)! = 6!

Nato mora biti količina med oklepaji 6:

x² + x = 6

To je enačba druge stopnje v X:

x² + x - 6 = 0

To enačbo je mogoče rešiti s splošno formulo ali s trinomsko faktorizacijo.

S to zadnjo metodo je trinomial faktoriziran na naslednji način:

x² + x - 6 = (x+3) ⋅ (x -2) = 0

Rešitve enačb so x₁ = -3 in x₂ = 2

Rešitev b

Tako števec kot tudi imenovalec sta dejavnika, da bi lahko najbolj poenostavili, da je izraz lahko. Za začetek je v imenovalniku lahko faktor (x+7)!

S tem je mogoče preklicati izraz (x+7)!, ostati:

Kot (x+9)! = (x+9) ⋅ (x+8)! Imenovalec je mogoče preklicati in ostaja:

(x+8)! = 14!

Lastnost 3 je preprosta enačba:

x+8 = 14

x = 6

Reference

1. Hoffman, J.G. Izbira vprašanj matematike. Ed. Sphinx.
2. Lipschutz, s. 2007. Diskretna matematika. Serija Schaum. 3. mesto. Izdaja. McGraw Hill.
3. Matematika je zabavna. Faktorska funkcija. Okreval od: MathisFun.com.
4. SmartIck. Faktorsko, za kaj jih uporabljamo?. Okrevano od: SmartIck.je.
5. Stewart, J. 2006. Predhodno: matematika za izračun. 5. Izdaja. Cengage učenje.