Naključne izbire z ali brez zamenjave

The Naključni izbor Sestavljen je iz izbire, naključnega elementa ali vzorca, ki temelji na naboru podatkov ali predmetov. Z zamenjavo pomeni vrniti element na originalni niz in brez zamenjave pomeni, da se ne vrne.

V prvem primeru, ko se izbrani element vrne na niz izvora, ni spremenjen, tako da odprta možnost, da je omenjeni element izbran večkrat. Na ta način lahko na isto populacijo izvedemo neskončne ekstrakcije, četudi je sestavljen iz N elementov, ki so končni.

Če pa se izbira opravi brez zamenjave, se prvotni niz elementov spremeni vsakič, ko se iz njega izvleče nekaj elementa, da tvori vzorec. In izvlečeni elementi nimajo možnosti, da bi bili spet izbrani.

Ker se populacija zmanjšuje, je število ekstrakcij, ki jih je mogoče storiti na njem.

Če je velikost populacije N majhna, obstaja pomembna razlika med izbiro naključnih elementov z ali brez zamenjave. Po drugi strani, ko je n zelo velik, je razlika precej nižja, kot bomo videli kasneje.

Izbira z zamenjavo

Verjetnost, da se zgodi določen X dogodek, je razmerje med številom ugodnih primerov in skupnimi primeri:

P (x) = ugodni/skupni primeri.

Če prebivalstvo sestavljajo N različnih elementov: x₁, x₂, x₃…, Verjetnost izbire elementa x₁ je p (x₁) = 1/n.

Ker je zamenjava, velikost prebivalstva ostane n, potem verjetnost, da bo izbral naslednji element X₂ je p (x₂) = 1/n.

In na enak način ima vsak od preostalih elementov enako verjetnost, da bo izbran:

Vam lahko služi: ocena polinoma: kako je določena, primeri in vaje

P (x_n) = 1/n

Zato je medsebojni dogodki med seboj skupna verjetnost pojava rezultat verjetnosti vsakega od njih:

P (x₁, x₂, x₃... x_n) = (1/n) × (1/n) ×… × (1/n)

Izbira brez zamenjave

Pri izbiri določenega elementa brez zamenjave populacije velikosti n je verjetnost, da je takšen element izbran,:

P (x₁) = 1/n

Ko to storite, n - 1 elementi ostanejo v populaciji, zato je verjetnost, da bodo izbrali naslednjo:

P (x₂) = 1/(n - 1)

Izbran ta element, prebivalstvo je zdaj sestavljeno iz N - 2 elementov, v tem primeru je verjetnost izbire naslednjega:

P (x₃) = 1/(n - 2)

In tako naprej. Verjetnost za edini element je:

P (x_n) = 1/[n− (n-1)]

Končno je skupna verjetnost izbire elementov x₁, x₂, x₃… Kot del vzorca je produkt vsake verjetnosti:

P (x₁, x₂, x₃…) = 1/n × 1/(n-1) × 1/(n-2) ×… × 1/[n− (n-1)] = 1/[n × (n-1) × (n −2) ×… × [n− (n-1)]

Primeri

V statistiki je dejanje izbire vzorca eksperiment, nabor možnih rezultatov je vzorec vzorca in rezultati poskusa predstavljajo dogodek.

Primer 1

Na voljo je škatla z marmorjem različnih barv: 12 rdečih, 7 modrih in 5 zelenih. Poskus je sestavljen iz pridobivanja enega samega naključnega marmorja.

Kot skupno je v škatli 24 frnikolov, od tega 12 rdečih, je verjetnost, da vzamemo rdeč marmor, označeno s P (r),:

P (r) = 12/24 = 1/2 = 0.5

Po tem želite vedeti verjetnost izvlečenja zelenega marmorja, torej p (v).

Vam lahko služi: vsota kvadratov dveh zaporednih številk

Ta verjetnost je odvisna od tega, ali se rdeči marmor, ki je bil izvlečen, v prvi vrsti vrne v polje ali ne. Če je rdeči marmor spet v škatli z drugimi, je izbira z zamenjavo ali zamenjavo, drugače pa je izbor brez zamenjave.

V izbiri z zamenjavo se vzorčni prostor ne spremeni, v škatli je še 24 frnikolov in verjetnost pridobivanja zelenega marmorja je:

P (v) = 5/24 = 0.enaindvajset

In če se začetni rdeči marmor ne vrne v škatlo, je v tem 23 frnikolov in verjetnost pridobivanja zelene bi morala biti nekoliko večja:

P (v) = 5/23 = 0.22

Primer 2

V drugem poskusu z marmornatim poljem želite izračunati verjetnost, da je, ko se izvlečeta dva marmorja, prva rdeča in naslednja je modra. Lahko nadaljujete na dva načina:

a) z zamenjavo

Oba dogodka sta neodvisna, torej barva izvlečenega marmorja najprej ne vpliva na verjetnost, da bi dobili še en marmor določene barve.

P (ra) = (12/24) × (7/24) = 84/576 = 0.146

b) Brez zamenjave

Ko je zunaj zapustil prvi marmor, če je bil to rdeč, je verjetnost, da bi drugič ekstrahirali modro, nekoliko večja:

P (ra) = (12/24) × (7/23) = 84/552 = 0.152

Primer 3

Mesto ima 30.000 prebivalcev, od tega 15.423 so ženske. Želite izračunati verjetnost, da sta z izbiro dveh prebivalcev obe ženski.

a) z zamenjavo

Naj bo p (m) verjetnost, da je izbrani prebivalec ženska, potem:

P (m) = 15.423/30.000 = 0.51410

Vam lahko služi: Zakaj je algebra pomembna v določenih vsakdanjem življenju?

Torej, verjetnost, da je druga izbrana oseba, je tudi ženska::

P (mm) = p (m) × p (m) = 0.5140² = 0.2643

b) Brez zamenjave

Če prva izbrana oseba ni "vrnjena", potem je verjetnost, da bo v drugem poskusu izbrala žensko:

P (m) = 15.422/29.999 = 0.51408

Pri prejšnjem primeru ni bistvene razlike. In izdelek 0.51410 × 0.51408 je skoraj enak 0.2643, lahko bralec preveri s kalkulatorjem.

Vaja rešena

V škatli je 5 zelenih vernikov, 2 modra vernika in 3 rdeče vernike, vse nove in enake. Določite verjetnost, da s črpanjem dveh vernikov iz škatle noben od njih ne bo rdeč:

a) z zamenjavo. So ti dogodki neodvisni?

b) Brez zamenjave kaže, ali so dogodki neodvisni ali ne.

Rešitev

Skupaj jih je 10, od tega 3 rdeče in 7. Verjetnost p (r^*) Da prva verjame, da ni rdeča, je:

Str₁(R^*) = 7/10 = 0.7

Verjetno se vrne v polje in druga ekstrakcija je narejena z enakim rezultatom:

Str₂(R^*) = 7/10 = 0.7

Dogodki so neodvisni, zato je verjetnost, da v tem poskusu ni prepričanje rdeče:

Str₁(R^*) × P₂(R^*) = 0.7 × 0.7 = 0.49

Rešitev b

Verjetnost pridobitve prepričanja, ki v prvem poskusu ni rdeče, je enaka kot v oddelku A). Toda v drugi ekstrakciji je v škatli že 9 vernikov:

Str₂(R^*) = 6/9 = 0.666 ..

In v tem primeru je verjetnost, da bi izvlekli A, ki verjame, da ni rdeča:

Str₁(R^*) × P₂(R^*) = 0.7 × 0.666… = 7/15 = 0.47

Dogodki niso neodvisni.