Matematika

Multiplikativne tehnike štetja načela in primeri

Multiplikativne tehnike štetja načela in primeri

Kaj je multiplikativno načelo?

On multiplikativno načelo Gre za tehniko, ki se uporablja za reševanje težav s štetjem za iskanje rešitve, ne da bi bila potrebna za naštevanje njegovih elementov. Znan je tudi kot temeljno načelo kombinatorične analize; Temelji na zaporednem množenju, da ugotovi način, kako se lahko dogodek.

To načelo ugotovi, da če odločitev (d1) To je mogoče sprejeti na n načinov in drugo odločitev (D2) Mnere je mogoče sprejeti, skupno število načinov, kako se lahko sprejmejo odločitve D1 in d2 Enako bo kot množenje n * m. Po načelu je vsaka odločitev sprejeta za drugo: Število načinov = n1 * N2.. * Nx načine.

Primeri

Primer 1

Paula namerava s prijatelji iti v kino in izbrati oblačila, ki jih bo nosila, ločevala 3 bluze in 2 krila. Koliko načinov se lahko obleče Paula?

  • Rešitev

V tem primeru mora Paula sprejemati dve odločitvi:

d1 = Izberite med 3 bluzami = n

d2 = Izberite med 2 krili = m

Tako ima Paula n * m odločitve za sprejemanje ali različne načine oblačenja.

n * M = 3* 2 = 6 odločitve.

Multiplikativno načelo je rojeno iz tehnike drevesnega diagrama, ki je diagram, ki navaja vse možne rezultate, tako da se lahko vsaka pojavi končno številokrat.

Primer 2

Mario je bil zelo žejen, zato je šel v pekarno, da bi kupil sok. Luis mu služi in mu pove, da ima v dveh velikostih: velikega in majhnega; in štirje okusi: jabolko, oranžno, limono in grozdje. Koliko načinov lahko Mario izbere sok?

  • Rešitev

V diagramu je razvidno, da ima Mario 8 različnih načinov za izbiro soka in da je ta rezultat, tako kot v multiplikativnem načelu*m. Edina razlika je v tem, da lahko s tem diagramom veste, kakšne načine izbere Mario.

Vam lahko služi: razredna znamka

Po drugi strani pa je, ko je število možnih rezultatov zelo veliko, bolj praktično uporabiti multiplikativno načelo.

Tehnike štetja

Tehnike štetja so metode, ki se uporabljajo za neposredno štetje, in tako poznajo število možnih dogovorov, ki jih imajo elementi določenega niza. Te tehnike temeljijo na več načelih:

Načelo dodajanja

To načelo ugotovi, da če dva m in n dogodka ne moreta imeti hkrati, bo število načinov kot prvi ali drugi dogodek vsota M + N:

Število obrazcev = M + N ... + x Različni obrazci.

Primer

Antonio se želi pot, vendar se ne odloči, kateri cilj; V južni turistični agenciji ponujajo promocijo za potovanje v New York ali Las Vegas, medtem ko vzhodno turistično agencijo priporoča potovanje v Francijo, Italijo ali Španijo. Koliko različnih alternativ potovanja ponuja Antonio?

Rešitev

Z južno turistično agencijo ima Antonio 2 alternativi (New York ali Las Vegas), medtem ko ima pri vzhodni turistični agenciji 3 možnosti (Francija, Italija ali Španija). Število različnih alternativ je:

Število alternativ = m + n = 2 + 3 = 5 alternativ.

Načelo permutacije

Gre za posebej naročanje vseh ali nekaterih elementov, ki tvorijo niz, da olajšajo štetje vseh možnih dogovorov, ki jih je mogoče izvesti z elementi.

Število permutacij N različnih elementov, ki jih vzamemo naenkrat, je predstavljeno kot:

nStrn = n!

Primer

Štirje prijatelji se želijo fotografirati in želijo vedeti, koliko različnih načinov je mogoče naročiti.

Rešitev

Želite vedeti nabor vseh možnih načinov, na katere lahko postavite štiri osebe, da fotografirajo. Tako morate:

4Str4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 različnih načinov.

Če število permutacij N, ki so na voljo, prevzamejo deli kompleta, ki ga tvorijo R elementi, je predstavljen kot:

Vam lahko služi: kakšen je obseg statistike? (S primeri)

nStrR = n! ÷ (n - r)!

Primer

V učilnici imate 10 položajev. Če se 4 študentje udeležijo pouka, koliko različnih načinov lahko študentje zasedejo položaje?

Rešitev

Skupno število stolov je 10, ki bodo uporabljeni le 4. Za določitev števila permutacij se uporablja dana formula:

nStrr = n! ÷ (n - r)!

10Str4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10Str4 = 10! ÷ 6!

10Str4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 načinov zasedanja položajev.

Obstajajo primeri, v katerih se ponovijo nekateri razpoložljivi elementi kompleta (enaki so). Za izračun števila dogovorov, ki vzamejo vse elemente hkrati, se uporablja naslednja formula:

nStrr = n! ÷ n1!* n2!… Nr!

Primer

Koliko različnih besed štirih črk je mogoče oblikovati iz besede "volk"?

Rešitev

V tem primeru obstajajo 4 elementi (črke), od katerih sta dva popolnoma enaka. Z uporabo dane formule je znano, koliko različnih besed je:

nStrr = n! ÷ n1!* n2!… Nr!

4Str2, 1.1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4Str2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4Str2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 različnih besed.

Načelo kombiniranja

Gre za popravljanje vseh ali nekaterih elementov, ki tvorijo niz brez določenega naročila. Na primer, če imate dogovor XYZ, bo to med drugim enako zxy, yzx, zyxom dogovorom; To je zato, ker so elementi vsake ureditve enaki.

Ko se vzamejo nekateri elementi (r) niza (n), je načelo kombinacije podano z naslednjo formulo:

nCR = n! ÷ (n - r)!r!

Primer

V trgovini prodajajo 5 različnih vrst čokolade. Koliko različnih načinov lahko izberete 4 čokolade?

Vam lahko služi: skladnost: skladne številke, merila, primeri, vaje
Rešitev

V tem primeru morate izbrati 4 čokolade od 5 vrst, ki se prodajajo v trgovini. Vrstni red, v katerem so izbrani, ni pomemben, poleg tega pa lahko izberete vrsto čokolade več kot dvakrat. Če uporabite formulo, morate:

nCr = n! ÷ (n - r)!r!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)!4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 različnih načinov izbire 4 čokolade.

Ko so vzeti vsi elementi (r) niza (n), je načelo kombinacije podano z naslednjo formulo:

nCn = n!

Rešene vaje

Vaja 1

Imate baseball ekipo s 14 člani. Koliko načinov lahko dodelite 5 položajev za igro?

  • Rešitev

Set je sestavljen iz 14 elementov in želite dodeliti 5 posebnih položajev; to pomeni, da je naročilo pomembno. Formula permutacije se uporablja tam, kjer so n elemente, ki so na voljo, vzamejo deli kompleta, ki ga tvori R.

nStrR = n! ÷ (n - r)!

Kjer je n = 14 in r = 5. Nadomeščen je v formuli:

14Str5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14Str5 = 14! ÷ (9)!

14Str5 = 240 240 načinov za dodelitev 9 položajev igre.

Vaja 2

Če se družina 9 članov odpravi na potovanje in kupi njihove vozovnice s zaporednimi položaji, koliko različnih načinov lahko sedi?

  • Rešitev

To je 9 elementov, ki bodo zaporedno zasedli 9 sedežev.

Str9 = 9!

Str9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 Različni načini sedenja.

Reference

  1. Hopkins, b. (2009). Viri za poučevanje diskretne matematike: učilnice, zgodovinski moduli in članki.
  2. Johnsonbaugh, r. (2005). Diskretna matematika. Pearson Education,.
  3. Lutfiyya, l. Do. (2012). Končni in diskretni reševalec matematičnih problemov. Uredniki raziskovalnih in izobraževalnih združenj.
  4. Padró, f. C. (2001). Diskretna matematika. Politika. Katalonije.
  5. Steiner, e. (2005). Matematika za uporabne znanosti. Reverte.