Prijatelji ali prijazni primeri in kako jih najti

The Prijatelji ali prijazne številke Obstajata dve naravni številki A in B, katerih vsota delitve enega od njih (ne vključno s številko) je enaka drugemu številu, vsota delitve tega drugega težava.

Najdeni so bili številni pari številk, ki delijo to radovedno lastnost. Niso premajhne številke, mladoletniki so 220 in 284, odkrili pred nekaj stoletji. Torej, dajmo jim kot primer tega, kar pomeni to svojevrstno prijateljstvo med številkami.

Slika 1. Nekaj ​​prijateljev 220 in 284 je bilo že stoletja znano. Vir: Pixabay.

Delitve 220, ki ne vključujejo 220, so: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 in 110. Po drugi strani so 284 delitve, ki niso vključeni 284.

Zdaj dodamo delitve prve številke, ki je 220:

D₁ = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

Opažamo, da je dejansko vsota 284, številka prijatelj.

Nato dodajo delitve 284:

D₂ = 1+2+4+71+142 = 220

In prvi član para je pridobljen.

Starogrški matematiki pitagorejske šole, ki jih je ustanovil Pythagoras (569-475 do.C.), Avtor istoimenskega slavnega teorema, je uspel odkriti ta poseben odnos med tema dvema številkama, ki so jim pripisali številne mistične lastnosti.

Poznali so jih tudi islamski matematiki srednjega veka, ki jim je uspelo določiti splošno formulo, da bi našli prijatelje o 850 -ih iz naše dobe.

[TOC]

Formula za iskanje prijateljev

Islamski matematik Thabit Ibn Qurra (826-901) je našel način za ustvarjanje nekaterih prijateljev. Sean str, q in r Tri osnovne številke, torej številke, ki priznavajo le 1 in sebe kot delitve.

Ob izpolnitvi naslednjega:

P = 3.2^N-1 - 1

Q = 3.2ⁿ - 1

Vam lahko služi: Corollary (geometrija)

R = 9.2^2N-1 - 1

Z n Število večje od 1, nato:

A = 2ⁿPq in b = 2ⁿr 

Sestavljajte nekaj prijateljev. Preizkusili bomo formulo za n = 2 in videli, katere številke prijateljev ustvari:

P = 3.2^2-1 - 1 = 3. 2 - 1 = 5

Q = 3.2² - 1 = 11

R = 9.2^2.2-1 - 1 = 71

Tako:

A = 2ⁿPq = 2². 5. 11 = 220

b = 2ⁿR = 2². 71 = 284

Formula srednjeveškega matematika.

Vendar teorem ne deluje za vse do zdaj najdene prijatelje, samo za n = 2, n = 4 in n = 7.

Stoletja pozneje je švicarski matematik Leonhard Euler (1707-1783) sklenil novo pravilo za iskanje prijaznih številk, ki temeljijo na Thabit Ibn Qurra:

P = (2^N-m + 1). 2^m - 1

Q = (2^N-m + 1). 2ⁿ - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^m+n  - 1

Kot vedno so številke P, Q in R bratranca, zdaj pa obstajata dva celotna eksponenta: M in N, od katerih morata M izpolnjevati naslednji pogoj:

1 ≤ m ≤ n-1

Par prijateljev se oblikuje na enak način:

A = 2ⁿpq 

b = 2ⁿr 

Če je M = N-1 ponovno pridobljen Thabit-ov teorem, toda kot je to pri islamskem izrek matematikov. Vendar se je z njim povečala količina prijaznih številk, znanih do takrat.

Tu so prvi pari eksponentov (m, n), s katerimi najdete nekaj prijaznih številk:

(1,2), (3,4), (6,7), (1,8) in (29,40)

Kasneje bomo v razdelku z vadbo našli nekaj prijaznih številk, ki se tvorijo zahvaljujoč eksponentom (3,4) pravila Eulerja.

Primeri številk prijateljev

-220 in 284

Lahko vam služi: Naključni eksperiment: koncept, vzorčni prostor, primeri

-1184 in 1210

-2620 in 2924

-5020 in 5564

-6232 in 6368

-10.744 in 10.856

-12.285 in 14.595

-17.296 in 18.416

Seveda lahko računalnik ustvari veliko več parov prijaznih številk.

Kako razčleniti številko in najti svoje delitve

Poglejmo zdaj, kako najti delitve številke, potrditi, če so prijatelji. V skladu z definicijo prijaznih številk so potrebni vsi delilniki vsakega udeleženca, da jih lahko dodajo, razen samih številk.

Zdaj lahko naravne številke razdelimo v dve skupini: glavne številke in sestavljene številke.

Primo številke priznavajo le kot natančne delitve na 1 in sebe. In številke, ki jih sestavlja njihov del, se lahko vedno izrazijo kot produkt glavnih številk in imajo druge delitve, razen 1 in sebe.

Vsako sestavljeno številko, kot 220 ali 284, se lahko izrazi na ta način:

N = aⁿ . b^m. c^str… R^k

Kjer so a, b, c ... r glavne številke in n, m, p ... k, so eksponenti, ki pripadajo naravnim številkam, ki so lahko vredni od 1 naprej.

Glede na te eksponente obstaja formula, ki ve, koliko (vendar ne katere) delitve ima številko n. Naj bo C ta znesek:

C = (n +1) (m +1) (p +1) ... (k +1)

Ko je številka N izražena v smislu izdelkov Prime številke in je znano, koliko delitev ima, že imate orodja, da veste, kaj so njihovi delilniki, tako. In vse jih je treba spoznati, da preverijo, ali so prijatelji, razen zadnjega, ki je sama številka.

Rešene vaje

- Vaja 1

Poiščite vse delitve par prijateljev 220 in 284.

Rešitev

Najprej bomo našli glavne delitve 220, kar je sestavljena številka:

Vam lahko služi: natančna ocena

220 │2
110 │2
55 │5
11 │11
1 │

Razgradnja v glavnih faktorjih 220 je:

220 = 2 x 2 x 5 x 11 = 2².5. enajst

Zato je n = 2, m = 1, p = 1 in ima v lasti:

C = (2+1). (1+1). (1+1) = 12 delitve

Prvi delilniki, ki so opozorjeni na razgradnjo števila, so: 1, 2, 4, 5 in enajst. In tudi oni 110 in 55.

5 od njih bi manjkalo, ki izdelujejo izdelke med bratranci in njihovimi kombinacijami: 2².5 = dvajset;  2².11 = 44; 2. 11 = 22 in končno 1 in njegov 220.

Sledi analogni postopek za 284:

284 │2
142 │2
71 │71
1 │

284 = 2². 71

C = (2+1). (1+1) = 3 x 2 = 6 delitve

Ti delilniki so: 1, 2, 4, 71, 142 in 284, kot je navedeno na začetku.

Slika 2. Z opisano metodo je mogoče te pare analizirati, da preverimo, ali gre za številke prijateljev. Vir: f. Zapata.

- Vaja 2

Preverite Eulerjevo formulo za n = 4 in M ​​= 3 ustvari seznam primerov (p, q, r) = (23,47, 1151). Kaj je z njimi nekaj prijateljev?

Rešitev

Prime številke P, Q in R se izračunajo z:

P = (2^N-m + 1). 2^m - 1

Q = (2^N-m + 1). 2ⁿ - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^m+n  - 1

Zamenjava vrednosti M = 3 in n = 4 je dosežena:

P = (2^4-3 + 1). 2³ - 1 = 23

Q = (2^4-3 + 1). 2⁴ - 1 = 47

R = (2^4-3 + 1)². 2⁴⁺³  - 1 = 1151

Zdaj se formula uporablja za iskanje nekaj prijateljev številk A in B:

A = 2ⁿpq 

b = 2ⁿr 

A = 2ⁿPQ = 16. 23. 47 = 17.296

b = 2ⁿR = 16. 1151 = 18.416

In res so med seznamom prvih parov prijateljev, ki jih prej pokažemo.

Reference

1. Baldor, a. 1986. Aritmetika. Codex izdaje in distribucije.
2. Vse o vrhunskih številkah. Številke prijateljev. Okrevano od: medicinska sestra.org.
3. Wolfram Mathworld. Eulerjevo pravilo. Okreval od: Mathworld.Wolfram.com.
4. Wikipedija. Prijateljske številke. Pridobljeno iz: v.Wikipedija.org.
5. Wikipedija. Številke prijateljev. Okrevano od: je.Wikipedija.org.