Predstavitev neodvisnih dogodkov, primeri, vaje

Dva Dogodki so neodvisni, Kadar na verjetnost, da se bo eden od njih zgodil, ne vpliva dejstvo, da se drugi pojavi -ali se ne zgodi, da se ti dogodki pojavijo naključno.

Ta okoliščina je vedno dana, da postopek, ki ga ustvari rezultat dogodka 1, na noben način ne spreminja verjetnost možnih rezultatov dogodka 2. Če pa ni tako, se reče, da so dogodki odvisni.

Slika 1. Barvni marmori se pogosto uporabljajo za razlago verjetnosti neodvisnih dogodkov. Vir: Pixabay.

Položaj neodvisnih dogodkov je naslednje: predpostavimo, da sta vržena dve kocki šestih strani, ena modra in druga roza. Verjetnost 1 v modrih kockah je neodvisna od verjetnosti, da se 1 -Or ne izide - v roza kockah.

Drug primer dveh neodvisnih dogodkov je, da dvakrat zapored zaženete kovanec. Rezultat prve predstavitve ne bo odvisen od rezultata drugega in obratno.

[TOC]

Demonstracija dveh neodvisnih dogodkov

Da bi preverili, ali sta dva dogodka neodvisna, bomo opredelili koncept pogojene verjetnosti enega dogodka v zvezi z drugim. Za to je treba razlikovati med ekskluzivnimi in vključujočimi dogodki:

Dva dogodka sta ekskluzivna, če možne vrednosti ali elementi dogodka A nimata nič skupnega z vrednostmi ali elementi dogodka B.

Zato je v dveh ekskluzivnih dogodkih niz presečišča A z B praznino:

Ekskluzivni dogodki: a∩b = Ø

Nasprotno, če so dogodki vključujoči, se lahko zgodi, da iz tega dogodka A sovpada tudi z rezultati drugega B, ki je A in B različni dogodki. V tem primeru:

Vključujoči dogodki: a∩b ≠ Ø

To nas privede do določitve pogojene verjetnosti dveh vključujočih dogodkov, z drugimi besedami, verjetnost pojavljanja dogodka A, pod pogojem, da se dogodek B pojavi:

P (a |b) = p (a∩b)/p (b)

Zato je pogojena verjetnost verjetnost, ki se pojavi in ​​B, deljena z verjetnostjo, ki se zgodi B. Verjetnost, ki temelji na A:

P (b¦a) = p (a∩b)/p (a (a)

Merila za vedeti, ali sta dva dogodka neodvisna

Nato bomo dali tri merila, da bomo vedeli, ali sta dva dogodka neodvisna. Dovolj je, da je eden od treh izpolnjen, tako da je prikazana neodvisnost dogodkov.

1.- Če se bo verjetnost, ki se bo zgodila, dokler je B enaka verjetnost A, potem gre za neodvisni dogodki:

Lahko vam služi: Lastnost Algebra Lock: demonstracija, primeri

P (a |b) = p (a) => a je neodvisen od b

2.- Če je verjetnost, ki se pojavi B, enaka verjetnost B, potem imajo neodvisne dogodke:

P (b¦a) = p (b) => b je neodvisen od a

3.- Če je verjetnost, ki se pojavi v in B, enaka proizvodu verjetnosti, ki se zgodi zaradi verjetnosti B, potem so to neodvisni dogodki. Res je tudi vzajemna.

P (a∩b) = p (a) p (b) a in b sta neodvisni dogodki.

Primeri neodvisnih dogodkov

Gumijaste podplate, ki jih proizvajata dva različna dobavitelja, primerjamo. Vzorci vsakega proizvajalca so podvrženi več preskušanji, iz katerih so sklenjeni, ali so v okviru specifikacij ali ne. 

Slika 2. Raznolikost gumijastih podplatov. Vir: Pixabay.

Nastali povzetek 252 vzorcev je naslednji:

Proizvajalec 1; 160 izpolnjujejo specifikacije; 8 Ne izpolnjujejo specifikacij.

Proizvajalec 2; 80 izpolnjuje specifikacije; 4 Ne izpolnjujejo specifikacij.

Dogodek A: "Vzorec je od proizvajalca 1".

Dogodek B: "Da vzorec ustreza specifikacijam".

Zaželeno je vedeti, ali sta ti dogodki A in B ali nista neodvisna, za katero uporabljamo eno od treh meril, omenjenih v prejšnjem razdelku.

Merila: P (bped) = p (b) => b je neodvisen od a

P (b) = 240/252 = 0.9523

P (b¦a) = p (a ⋂ b)/p (a) = (160/252)/(168/252) = 0.9523

Zaključek: Dogodki A in B sta neodvisna.

Recimo dogodek C: "Da predstava prihaja od proizvajalca 2"

Bo to dogodek B neodvisen od dogodka c?

Uporabljamo eno od meril.

Merila: p (b¦c) = p (b) => b je neodvisna od c

P (b¦c) = (80/252)/(84/252) = 0.9523 = P (B)

Zato je po razpoložljivih podatkih verjetnost, da naključno izbrani gumijast podplat ustreza specifikacijam, neodvisna od proizvajalca. 

Spremenite neodvisni dogodek v odvisnega

Poglejmo naslednji primer, da ločimo med dogodki vzdrževani člani e neodvisno. 

Imamo torbo z dvema belima čokoladnima kroglicama in dvema črnima kroglicama. Verjetnost, da dobite belo ali črno kroglico, je v prvem poskusu enaka.

Recimo, da je bil rezultat bela žoga. Če se izvlečena kroglica napolni v torbi, se prvotna situacija ponovi: dve beli krogli in dve črni kroglici.

Torej v drugem dogodku ali ekstrakciji so možnosti, da vzamete belo kroglico ali črno kroglico. To so torej neodvisni dogodki.

Če pa se bela kroglica v prvem dogodku ne napolni, ker smo jo pojedli, v drugem ekstrakciji obstajajo večje možnosti, da dobite črno kroglico. Verjetnost, da se v drugi ekstrakciji ponovno pridobiva bela, je drugačna od verjetnosti prvega dogodka in je pogojena s prejšnjim rezultatom.

Vam lahko služi: Scaleno Triangle

Vaje

- Vaja 1

V škatlo smo postavili 10 frnikolov na sliki 1, od katerih sta 2 zelena, 4 modra in 4 bela. Izbrali bodo dva naključna frnikola, enega prvega in enega po njem. Zahteva se, da najde
Verjetnost, da nobeden od njih ni modra, pod naslednjimi pogoji:

a) z zamenjavo, torej vrnitev v polje prvi marmor pred drugim izborom. Navedite, ali so neodvisni ali odvisni dogodki.

b) Brez zamenjave, tako da je prvi izvlečen marmor v času druge izbire zunaj škatle. Podobno poudarite, ali so odvisni ali neodvisni dogodki.

Rešitev

Izračunamo verjetnost, da prvi izvlečen marmor ni modro, kar je 1 manj verjetno, da je modri p (a) ali neposredno, da ni modra, ker je izšel zeleno ali belo:

P (a) = 4/10 = 2/5

P (brez modre) = 1 - (2/5) = 3/5

O No:

P (zelena ali bela) = 6/10 = 3/5.

Če se marmor vrne, je vse spet kot prej. V tej drugi ekstrakciji obstajajo tudi 3/5 verjetnosti, da ekstrahirani marmor ni modro.

P (brez modre, brez modre) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Dogodki so neodvisni, saj se je izvlečen marmor vrnil v polje in prvi dogodek ne vpliva na verjetnost pojava drugega.

Rešitev b

Za prvo ekstrakcijo je isto nadaljevanje v prejšnjem razdelku. Verjetnost, da ni modra, je 3/5.

Za drugo ekstrakcijo imamo v torbi 9 frnikolov, saj se prvi ni vrnil, ampak ni bila modra, zato je v torbi ostalo 9 marmorjev in 5 ne -blue:

P (zelena ali bela) = 5/9.

P (noben ne bo modra) = P (najprej brez modre). P (drugi non -blue /najprej ni bil modri) = (3/5) . (5/9) = 1/3

V tem primeru ne gre za neodvisne dogodke, saj prvi dogodek pogoja drugi.

- Vaja 2

Trgovina ima 15 majic v treh velikostih: 3 majhne, ​​6 srednje in 6 velike. 2 majice sta naključno izbrani.

a) Kakšna verjetnost sta obe izbrani majici majhni, če se ena prvič odstrani in ne da bi zamenjali veliko drugega?

b) Kaj verjetno sta obe izbrani majici majhni, če se prvič odstrani, drugo se zamenja in drugo odstrani?

Lahko vam služi: resnična realna spremenljiva funkcija in njegov grafični prikaz

Rešitev

Tu sta dva dogodka:

Dogodek A: Prva izbrana majica je majhna

Dogodek B: Druga izbrana majica je majhna

Verjetnost dogodka A je: p (a) = 3/15

Verjetnost, ki je iz dogodka B, je: P (B) = 2/14, ker je bila majica že izvlečena (14), vendar je želena tudi srečati dogodek do prve izvlečene majice 2 majhna.

Z drugimi besedami, verjetnost A in B bo produkt verjetnosti::

P (a in b) = p (bped) p (a) = (2/14) (3/15) = 0.029

Zato je verjetnost, da bi bila dogodka A in B, enaka izdelku, ki je dogodek, zaradi verjetnosti dogodka B, če je bil dogodek podan.

Treba je opozoriti, da:

P (b¦a) = 2/14

Verjetnost dogodka B, ne glede na to, ali je dogodek naveden ali ne, bo:

P (b) = (2/14) Če je bil prvi majhen, ali p (b) = 3/14, če prvi ni bil majhen.

Na splošno je mogoče sklepati naslednje:

P (bped) ni enak p (b) => b ni neodvisen od a

Rešitev b

Spet sta dva dogodka:

Dogodek A: Prva izbrana majica je majhna

Dogodek B: Druga izbrana majica je majhna

P (a) = 3/15

Ne pozabite, kakšen je rezultat, majica se nadomesti s serije in spet naključno odstrani majico. Verjetnost dogodka B, če je bil dodeljen dogodek A:

P (b¦a) = 3/15

Verjetnost, da bodo dogodki dobili A in B, bo:

P (a in b) = p (bped) p (a) = (3/15) (3/15) = 0.04

Upoštevajte to: 

P (b¦a) je enak p (b) => b je neodvisen od a.

- Vaja 3

Razmislite o dveh neodvisnih dogodkih A in B. Znano je, da je verjetnost, da se dogodek pojavi 0,2 in verjetnost, da se dogodek B pojavi 0,3. Kakšna bo verjetnost, da se bosta oba dogodka zgodila?

Rešitev 2

Če vemo, da so dogodki neodvisni, je znano, da je verjetnost, da se oba dogodka pojavita produkt posameznih verjetnosti. To pomeni,

P (a∩b) = p (a) p (b) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Upoštevajte, da gre za veliko manjšo verjetnost kot verjetnost, da se vsak dogodek zgodi ne glede na rezultat drugega. Ali z drugimi besedami, veliko manj kot posamezne verjetnosti.

Reference

1. Berenson, m. 1985. Statistični podatki za upravo in ekonomijo. Interameriški s.Do. 126-127.
2. Inštitut Monterrey. Verjetnost neodvisnih dogodkov. Okrevano od: Monterreyinstitute.org
3. Profesor Mats. Neodvisni dogodki. Obnovil od: YouTube.com
4. Superprof. Vrste dogodkov, odvisni dogodki. Okrevano od: Superprof.je
5. Virtualni učitelj. Verjetnost. Pridobljeno od: Vititor.mreža
6. Wikipedija. Neodvisnost (verjetnost). Okreval od: Wikipedia.com