Trigonometrične funkcije in aplikacije enotnega kroga

On Enotni krog To je krog polmera, enak 1, ki je običajno osredotočen na točko (0,0) kartezijanskega koordinatnega sistema Xy. Uporablja se za enostavno opredelitev trigonometričnih razlogov kotov s pravokotniki.

Enačba enotnega kroga, osredotočena na izvor, je:

x² + in² = 1

Slika 1. Krog enote. Vir: Wikimedia Commons.

Na sliki 1 imamo krog enote, v katerem je vsaka soba v kvadrantu. Kvadranti so oštevilčeni z rimskimi številkami in se štejejo protinotniki.

V prvem kvadrantu je trikotnik. Kategorije v rdeči in v modri meri 0.8 in 0.6, medtem ko je hipotenza v zelenih ukrepih 1, ker je radio.

Akutni kot α je osrednji kot v standardnem položaju, kar pomeni, da njegova točka sovpada s točko (0,0) in njegovo začetno stran s pozitivno osjo x. Kot se meri v nasprotju z rokami ure in s konvencijo je dodeljen pozitiven znak.

No, v krogu enote so koordinate Coseno in sinus α koordinate X in Y iz točke B, ki sta v prikazanem primeru 0.8 in 0.6.

Iz teh dveh sta opredeljena:

• tg α = sin α/cos α = 0.6/0.8 = 0.75
• Sec α = 1/ cos α = 1/0.8 = 1.25
• Škoda α = 1 / sin α = 1/0.6 = 1.66 ..
• CTG α = 1/tg = 0.8/0.6 = 1.33 ..

[TOC]

Aplikacije enotnega kroga

Če se omejimo na pravokotnike, bi se trigonometrični razlogi uporabili le za akutne kote. Vendar se s pomočjo kroga enote izračun trigonometričnih razlogov razširi na kateri koli kot α.

Slika 2.- Koti v kvadrantih in referenčni kot v krogu enote. Vir: f. Zapata.

Za to je treba najprej določiti koncept referenčnega kota α_R:

Vam lahko služi: končni niz: lastnosti, primeri, rešene vaje

Referenčni kot

Naj bo α kot v standardnem položaju (tisti, katerega Začetna stran sovpada s pozitivno osjo x), njen referenčni kot α_R Je med svojimi terminalna stran in os x. Slika 2 prikazuje referenčni kot za kote v kvadrantu I, II, III in IV.

Za vsak kvadrant se referenčni kot izračuna na naslednji način:

-Prvi kvadrant: α_R = α

-Drugi kvadrant: α_R = 180 ° - α

-Tretji kvadrant: α_R = α - 180 °

-Četrti kvadrant: α_R = 360 ° - α

Upoštevajte, da prvi kotni kvadrant α sovpada z njegovim referenčnim kotom. No, trigonometrični razlogi za kot α so enaki njihovemu referenčnemu kotu, z znaki glede na tiste, ki imajo kvadrante, v katerih pade končna stran α.

Z drugimi besedami, trigonometrični razlogi Coseno in prsa kota α sovpadajo s koordinatami točke P, na sliki 2.

Na naslednji sliki vidimo trigonometrične razloge nekaterih pomembnih zornih kotov, kot je bilo sklenjeno iz kroga enote.

Slika 3. Koordinate nekaterih pomembnih točk v krogu enote. Vir: Wikimedia Commons.

Razlogi, da so Coseno in prsi katerega koli kota v kvadrantu I so pozitivni. Za α = 60 ° imamo koordinate (1/2; √3/2), ki ustrezajo COS 60 ° in Sen 60º.

Koordinate α = 120 ° so (-1/2; √3/2), saj je v drugem kvadrantu koordinata X negativna.

Postavitev grafov kosinusa in sinusa

S pomočjo kroga enote in koordinat P točk na njem je mogoče narisati grafe funkcij, ki so bile v nadaljevanju, kot bomo videli spodaj.

Vam lahko služi: kotni premik

Za to je v krogu enote nameščenih več položajev točke P (T). Začeli bomo z grafom funkcije f (t) = sen t.

Lahko opazimo, da se vrednost, ko gremo od t = 0 do t = π/2 (90 °), vrednost sen t poveča na 1, kar je največja vrednost.

Po drugi strani pa se od t = π/2 do t = 3π/2 vrednost sin t zmanjšuje od 1, prehaja skozi 0 pri t = π na njegov minimum -1 pri t = 3π/2.

Slika prikazuje graf prvega cikla f (t) = sen t, ki ustreza prvi vrnitvi v krog enote, ta funkcija je periodična obdobja 2π.

Slika 4. Slika grafa f (t) = sen t za cikel. Vir: Zill, D. Algebra, trigonometrija in analitična geometrija.

Za pridobitev grafa funkcije f (t) = cos t, kot je prikazano v naslednji animaciji, je mogoče izvesti analogen postopek:

Slika 5. Grafi sinusnih in kosinusnih funkcij iz kroga enote. Vir: Wikimedia Commons.

Seno in Coseno funkcije lastnosti

-Obe funkciji sta neprekinjeni v naboru resničnih in tudi periodičnih številk, obdobja 2π.

-Domena funkcij f (t) = sen t in f (t) = cos t so vsa realna številka: (-nant, ∞).

-Za pot dojk ali sinusa in kosinusa imate interval [-1,1]. Oklepaji kažejo, da sta -1 in 1 vključeni.

- Zero Sin T so vrednosti, ki ustrezajo Nπ z n celovito, medtem ko so ničle cos t [(2n+1)/2] z n tudi cele.

-Funkcija f (t) = sin t je neparna, ima simetrijo glede na izvor, medtem ko je funkcija Cos t enakomerna, njegova simetrija je glede navpične osi.

Vam lahko služi: naključne izbire z ali brez zamenjave

Rešene vaje

- Vaja 1

Glede na COS T = - 2/5, ki je vodoravna koordinata točke P (t) v krogu enote v drugem kvadrantu, dobite ustrezno navpično koordinato Sen T.

Rešitev

Ker p (t) pripada krogu enote, v katerem je izpolnjeno:

x² + in² = 1

Zato:

y = ± √ 1 - x²

Ker je p (t) v drugem kvadrantu, bo vzeta pozitivna vrednost. Vertikalna koordinata točke P (t) je y:

y = √ 1 - (-2/5)² = √0.84

- Vaja 2

Matematični model za temperaturo T V stopinjah Fahrenheit vsak dan, t Ure po polnoči, daje:

T (t) = 50 + 10 sen [(π /12) × (t - 8)]

Z t razumljen med 0 in 24 urami. Najti:

a) Temperatura ob 8. uri.

b) ure, v katerih t (t) = 60 ° F

c) največje in minimalne temperature.

Rešitev

V dani funkciji nadomestimo t = 8:

T (8) = 50 + 10 Sen [(π/12) × (T-8)] = 50 + 10 Sen [(π/12) × (8-8)] =

= 50 + 10 x Sen 0 = 50 ° F

Rešitev b

50 + 10 sen [(π/12) × (t-8)] = 60

To je trigonometrična enačba in očistiti morate neznani "T":

10 sen [(π/12) × (t -8)] = 60 - 50 = 10

sin [(π/12) × (t-8)] = 1

Vemo, da je Sen π/2 = 1, zato mora biti argument dojke 1:

(π/12) × (t-8) = π/2

T-8 = 6

t = 14 h

Ugotovljeno je, da je 14 ur po polnoči temperatura 60 °, to je 14:00. Čez dan (24 ur) ni druge ure, v kateri se to zgodi.

Rešitev c

Najvišja temperatura ustreza vrednosti, v kateri je Sen [(π/12) × (T-8)] = 1 in je 60 ° F. Po drugi strani se minimum pojavi, če je Sen [(π/12) × (t -8)] = -1 in je 40 ° F.

Reference

1. Figuera, j. 1999. Matematika. 1. Raznovrstno. Bolivarske kolegijske izdaje.
2. Hoffman, J. Izbira vprašanj matematike. Zvezek 4.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
4. Matematika je zabavna. Krog enote. Okreval od: od: matematika.com.
5. Wikipedija. Trigonometrična identiteta in formule. Okrevano od: je.Wikipedija.org.
6. Zill, d. 1984. Algebra in trigonometrija. McGraw Hill.