Trinomial

Trinomial je polinom s tremi izrazi. Vir: f. Zapata.

Kaj je trinomial?

Trinomial je polinom, ki je sestavljen iz navedene vsote treh različnih izrazov, to je, da je gradil algebraično tri monomete različnih stopenj, bodisi eno ali več spremenljivk. So zelo pogosti polinomi v algebri.

Nekaj ​​primerov trinomij je naslednje:

• x² + 5x - 3 (razred 2)
• x- x² - 6x³  (Trinomial iz 3. stopnje)
• -7xy² + 4x²y - x³ (Trinomial absolutne stopnje 3, stopnja 3 v x in 2 v Y)

Prva in druga od teh trinomij sta ene same spremenljivke, v tem primeru spremenljivka "x", tretji trinomial pa dve spremenljivki "x" in "y".

Primeri trinomij

V številnih aplikacijah je predstavljeno več vrst trinomij, med katerimi so:

Popoln kvadratni trinomial

Pri razvoju kvadrata vsote ali kvadrata razlike v smislu dobimo popoln kvadratni trinomial. Oba razvoja sta znana kot izjemni izdelki.

Najprej imate kvadrat vsote: (A + B)². Ko razvijate ta izraz, dobite:

(A + B)² = (a + b) × (a + b) = a² + A ∙ b + b ∙ a + b²

Oba osrednja izraza sta enaka in sta zmanjšana na 2A ∙ B, zato:

(A + B)² = a² + 2a ∙ B + B²

Trinomial a² + 2a ∙ B + B² Vsebuje dva popolna kvadrata: a² in b², Medtem ko je preostali izraz enak dvojnemu izdelku obeh izrazov originalnega binoma.

Kvadrat razlike je trinomial, podoben prejšnjemu, razen negativnega znaka, ki vpliva na dvojni produkt izrazov izvirnega binoma:

(A - B)² = (a - b) × (a - b) = a² - a ∙ b - b ∙ a + b²

Ponovno se podobni izrazi zmanjšajo na en sam izraz in dobimo:

Vam lahko služi: teorem moire

(A - B)² = a² - 2a ∙ B + B²

Rezultata ni več mogoče zmanjšati.

Ti pomembni, zlahka spominski izdelki povezujejo popoln kvadratni trinomial s kvadratom ustreznega binoma, na primer:

• (x - 5)² = x² - 10 ∙ x + 25
• (2y + 3)² = 4y² + 12 ∙ y + 9

Treba je opozoriti, da niso vsi popolni kvadratni trinomiji spremenljivka ali 2. razred. Tu so primeri te vrste trinomij z dvema in več spremenljivkami in tudi z različnimi stopnjami 2:

• (x + y)² = x² + 2 ∙ xy + in²
• (2z² + in)² = 4z⁴ + 4 ∙ z²in + in²
• (5xy³ - z)² = 25x²in⁶ - 10 xy³z + z²

Trinomial oblike x² + bx + c

V tem trinomiju je samo eden od izrazov popoln kvadrat, v tem primeru je x² in njen numerični koeficient je 1. Naslednji izraz B⋅X je linearn, zadnji izraz pa neodvisen izraz. Primeri tovrstnih trinomij so:

• x² +  5 ∙ x + 6 (b = 5; c = 6)
• in² - 4 ∙ y + 3 (b = −4; c = 3)
• m² - 12 ∙ m + 11 (b = −12; c = 11)

Trinomial oblike sekire² + bx + c

Podobno je na prejšnjih, le da se koeficient kvadratnega izraza razlikuje od 1, kot v teh trinomijih:

• 3x² - 5 ∙ x - 2 (a = 3; b = −5; c = −2)
• 6y² +  7 ∙ y + 2 (a = 6; b = 7; c = 2)
• 2m² + 29 ∙ M + 90 (A = 2; B = 29; C = 90)

Trinomska faktorizacija

Zelo pogosta algebrska operacija je trinomialna faktorizacija, ki je sestavljena iz tega, da jih pišejo kot produkt različnih dejavnikov 1. Obstajajo posebni postopki za vsak opisani trinomiji.

Popolna kvadratna trinomialna faktorizacija

Lahko jih upoštevamo z inšpekcijskim pregledom iz pomembnih izdelkov:

(A + B)² = a² + 2a ∙ B + B²

(A - B)² = a² - 2a ∙ B + B²

Koraki za upoštevanje popolnega kvadratnega trinoma so:

1.- Preverite, ali trinomial vsebuje dva popolna kvadrata² in b², Oba izraza morata pred istim znakom, običajno znak +. Če imata oba znaka - to je lahko brez težav.

Vam lahko postreže: popoln kvadratni trinomial

2.- Določite vrednosti A in B s črpanjem kvadratnega korena² in b².

3.- Potrjujejo, da je tretji izraz dvojni produkt A in B.

Trinomska faktorizacija oblike x² + bx + c

To je trinomial z edinstvenim kvadratnim izrazom, ki je napisan kot dva binomna produkt:

x² + Bx + c = (x + r) ∙ (x + s)

Kjer sta R in S dve številki za določitev.

Upoštevajte, da se pri razvoju desne strani s pomočjo distribucijske lastnosti pridobi:

(x + r) ∙ (x + s) = x² + S ∙ x + r ∙ x + r ∙ s = x² + (R + s) ∙ x + r ∙ s

Torej, tako da ta izraz odraža prvotni trinomial, morajo številke U in V izpolnjevati naslednje pogoje:

R ∙ s = c
R + s = b

Nekaj ​​trinomij oblike x² + BX + C s to metodo ne sprejemajo faktorizacije, vendar so lahko dejavniki s pomočjo splošne formule ali formule topila.

Trinomska faktorizacija oblike sekire² + bx + c

Postopek za upoštevanje te vrste trinomij je:

1. Pomnožite in razdelite trinomijo s koeficientom "a"
2. Naredite izdelek med "A" in prvim in tretjim mandatom trinomiala, pri čemer izdelek zapustite, ne da bi opravili drugi mandat.
3. Postopek, opisan v prejšnjem razdelku, je uporabljen za trinomial, to je zapisan kot produkt dveh binomov, vendar v tem primeru prvi izraz vsakega binoma ni "x", ampak "a ∙ x".
4. Dve N številki R in S se iščeta, da sta a ∙ c = r ∙ s in tudi r + s = b
5. Nazadnje, binom, ki so, glej vajo razrešene 3, so poenostavljeni, kolikor je mogoče.

Rešene vaje

Vaja 1

Poiščite trinomial, ki ima za posledico pri razvoju naslednjega izjemnega izdelka: (4x - 3y)²

• Rešitev

Uporabljena je opazna formula izdelka za kvadrat razlike, kar ima za posledico:

Lahko vam služi: pravokotne koordinate: primeri in vaje rešene

(4x - 3y)² = (4x)² - 2 ∙ 4x ∙ 3y + (3y)² = 16x² - 24 ∙ xy + 9y²

Vaja 2

Dejstvo naslednje trinomialno:

x² +  5x + 6

• Rešitev

To trinomial oblike x² + Bx + c, z b = 5 in c = 6, tako da lahko poskusite upoštevati z zgoraj opisanim postopkom. Če želite to narediti, morate najti dve številki R in S, ki se pomnožita, dobite 6 in dodate v 5:

R ∙ s = 6 in r + s = 5.

Iskane številke so r = 3 in s = 2, saj izpolnjujejo te pogoje:

x² +  5x + 6 = (x + 3) (x + 2)

Bralec je levo kot vaja, da preveri, ali je razvoj desne strani zlahka doseženo do prvotnega trinomiala.

Vaja 3

Faktorizirajte 3x² - 5x - 2.

• Rešitev

To je trinomial oblike sekire² + bx + c, z a = 3, b = −5 in c = −2. Postopek je:

-Pomnožite in razdelite na a = 3:

Naredite izdelek "A" za prvi in ​​tretji mandat, pri čemer izdelek pustite z drugim mandatom:

Zdaj morate napisati dva binomna izdelka, katerega prvi izraz je 3x in iskati dve številki R in S, tako da:

• Ko se pomnoži v −6
• In ko ga dodamo algebraično, dobimo −5

Te številke so r = −6 in s = 1:

Končno je poenostavljen nastali binomski izdelek:

Predlagane vaje

Faktor naslednje trinomije: ²

1. x² - 14x + 49
2. P² + 12pq + 36q²
3. 12x² - x - 6
4. Z² + 6z + 8

Reference

1. Baldor. 1977. Elementarna algebra. Venezuelske kulturne izdaje.
2. Jiménez, r. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
3. Stewart, J. 2006. Predhodno: matematika za izračun. 5. Izdaja. Cengage učenje.
4. Zill, d. 1984. Algebra in trigonometrija. 1. Izdaja. McGraw Hill.
5. Zill, d. 2008. Predhod z napredkom izračuna. 4. Izdaja. McGraw Hill.