Zgodovina, teoremi in postulacije Boolean algebra, primeri

On Boolejska algebra O Booleova algebra je algebrska zapis, ki se uporablja za zdravljenje binarnih spremenljivk. Zajema študije vsake spremenljivke, ki ima med seboj samo 2 možna, dopolnilna in ekskluzivna rezultata. Na primer, spremenljivke, katerih edina možnost je resnična ali napačna, pravilna ali napačna, so vklopljena ali izklopljena osnova preučevanja logične algebre.

Bolejska algebra je osnova digitalne elektronike, zaradi česar je v sodobnosti precej prisotna. Ureja ga koncept logičnih vrat, kjer so operacije, znane v tradicionalni algebri.

Vir: Pexels.com

[TOC]

Zgodovina

Bolejsko algebro je leta 1854 predstavil angleški matematik George Boole (1815 - 1864), ki je bil takratni učenjak. Njegova skrb je izhajala iz obstoječega spora med Augustusom Morganom in Williamom Hamiltonom o parametrih, ki definirajo ta logični sistem.

George Boole je trdil, da definicija numeričnih vrednosti 0 in 1 na področju logike ustreza interpretaciji Nič in vesolje oziroma.

Namen Georgea Boolea je bil z lastnosti algebre opredeliti izraze predloge logike, potrebne za obravnavo binarnih spremenljivk.

Leta 1854 so v knjigi objavljeni najpomembnejši odseki Boolov algebre "Preiskava miselnih zakonov, na katerih temeljijo matematične teorije logike in verjetnosti. ".

Ta radoveden naslov bi bil pozneje povzet kot "Zakoni misli "(" zakoni misli "). Naslov je poskočil na slavo zaradi takojšnje pozornosti, ki jo je imela takratna matematična skupnost.

Leta 1948 ga je Claude Shannon uporabil pri zasnovi dvojnih električnih stikalnih vezij. To je služilo kot uvod v uporabo logične algebre v celotni elektronsko-digitalni shemi.

Struktura

Osnovne vrednosti v tej vrsti algebre so 0 in 1, ki ustrezajo lažnim in resničnim. Temeljne operacije v logični algebri so 3:

- In veznika. Zastopana s točko ( . ). Sinonim izdelka.

- Ali ali disjunction operacija. Predstavljen s križem ( +) .Sinonim vsote.

- Brez operacije ali denacije. Zastopana s predpono ne (ne a). Znan je tudi kot dopolnilo.

Če je v sklopu 2 ​​zakona notranje sestave, označene kot izdelek, in vsota sta opredeljena ( .  + ), pravi se, da je seznam (a . + ) To je logična algebra, če in samo, če omenjeni seznam ustreza pogoju, da je distribucijski retikulum.

Lahko vam služi: racionalne številke: lastnosti, primeri in operacije

Za določitev distribucijskega retikuluma je treba izpolnjevati pogoje porazdelitve med danimi operacijami:

. je distributiven glede na vsoto +                   do . (B + C) = (a . b) + (a . c)

+ je distributiven glede na izdelek.                  A + (b . c) = (a +b) . (A + C)

Elementi, ki sestavljajo niz A, morajo biti binarni, s čimer imajo vrednosti Vesolje ali praznina.

Prijave

Njegov največji scenarij aplikacije je digitalna veja, kjer služi strukturiranju vezij, ki sestavljajo vključene logične operacije. Umetnost preprostosti vezja za optimizacijo procesov je rezultat pravilne uporabe in prakse logične algebre.

Od izdelave električnih plošč, s prenosom podatkov, do doseganja programiranja v različnih jezikih, lahko pogosto najdemo Booleovo algebro v vseh vrstah digitalnih aplikacij.

Boolejeve spremenljivke so v programski strukturi zelo pogoste. Odvisno od uporabljenega programskega jezika bodo strukturne operacije kode, ki uporabljajo te spremenljivke. Pogojni in argumenti vsakega jezika sprejemajo logične spremenljivke, da opredelijo procese.

Postulati

Obstajajo teoremi, ki urejajo strukturne logične zakone logične algebre. Na enak način so v skladu z izvedeno operacijo poznati možne rezultate v različnih kombinacijah binarnih spremenljivk.

Vsota (+)

Operater Ali katerih logični element je Union (U) za binarne spremenljivke, kot sledi:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Izdelek (.)

Operater In katerega logični element je križišče (∩) za binarne spremenljivke opredeljeno na naslednji način:

0 . 0 = 0

0 . 1 = 0

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

Nasproti (ne)

Operater Ne katerega logični element je dopolnilo (x) 'je opredeljeno za binarne spremenljivke na naslednji način:

Ne 0 = 1

Ne 1 = 0

Številni postulati se od svojih ustreznikov razlikujejo v običajni algebri. To je posledica domene spremenljivk. Na primer, dodajanje vesoljskih elementov v logični algebri (1 + 1) ne more prinesti običajnega rezultata 2, ker ne spada v elemente binarnega kompleksa.

Teoreme

Nič pravila in enota

Določena je vsaka preprosta operacija, ki vključuje element z binarnimi spremenljivkami:

0 + a = a

1 + a = 1

0 . A = 0

1 . A = a

Enake pooblastila ali idEmpoltynce

Operacije med enakimi spremenljivkami so opredeljene kot:

Vam lahko služi: skladnost: skladne številke, merila, primeri, vaje

A + a = a

Do . A = a

Dopolnjevanje

Vsaka operacija med spremenljivko in njenim dopolnilom je opredeljena kot:

A + ne a = 1

Do . Ne a = 0

Involucija ali dvojno zanikanje

Vsa dvojna zanikanje bo obravnavana kot naravna spremenljivka.

Ne (ne a) = a

Komutativni

A + b = b + a; Poletje vsote.

Do . B = b . Do; Prizadevnost izdelka.

Asociativno

A + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c; Vsota asociativiranja.

Do . (B . C) = (a . B . C = a . B . C; Asociativnost izdelkov.

Distributivno

A + (b . C) = (a + b) . (A + c); Razdelite vsoto glede na izdelek.

Do . (B + C) = (a . B) + (a + c); Distributivnost izdelka glede na vsoto.

Absorpcijski zakoni

Med več referencami je veliko zakonov o absorpciji, nekateri najbolj znani so:

Do . (A + b) = a

Do . (Ne a + b) = a . B

Ne a (a + b) = ne a . B

(A + B) . (A + ne b) = a

A + a . B = a

A + ne a . B = a + b

Ne a + a . B = ne a + b

Do . B + a . Ne b = a

Morganov teorem

So zakoni o preobrazbi, ki upravljajo pare spremenljivk, ki delujejo med določenimi operacijami logične algebre ( + . ).

OPOMBA . B) = ne a + ne b

Ne (a +b) = ne a . Ne b

A + b = ne (ne A + ne b)

Do . B = ne (ne a . Ne b)

Dvojnost

Vsi postulati in teoremi imajo moč dvojnosti. To pomeni, da je z izmenjavo spremenljivk in operacij preverjena nastala predlog. To je pri izmenjavi 0 za 1 in in ali obratno; Ustvarjen je izraz, ki bo tudi popolnoma veljaven.

Na primer, če vzamete postulat

1 . 0 = 0

In uporabljena je dvojnost

0 + 1 = 1

Pridobljen je še en popolnoma veljaven postulat.

Karnaugh zemljevid

Karnaughov zemljevid je diagram, ki se uporablja v logični algebri za poenostavitev logičnih funkcij. Sestavljen je iz dvodimenzionalne ureditve, podobne tabeli resnice predloge logike. Podatki o resničnih tabelah lahko neposredno utelešate na zemljevidu Karnaugh.

Karnaughov zemljevid lahko nastane procese do 6 spremenljivk. Za funkcije z večjim številom spremenljivk je priporočljiva uporaba programske opreme za poenostavitev postopka.

Predlagal je leta 1953 Maurice Karnaugh, ustanovljen kot fiksno orodje na področju Boole.

Primeri

Boolejska algebra služi za zmanjšanje logičnih vrat v vezju, kjer je prednostna naloga, da se zapletenost ali ravni vezja pripelje do njegovega minimalnega možnega izraza. To je posledica računalniške zamude, za katero predpostavljajo vsaka vrata.

V naslednjem primeru bomo opazili poenostavitev logičnega izraza do njegovega minimalnega izraza z uporabo teoremov in postulatov Boolove algebre.

Ne (AB + A + B) . Ne (a + ne b)

Ne [a (b + 1) + b] . Ne (a + ne b); Faktor A s skupnim faktorjem.

Vam lahko služi: izračun pristopov z uporabo diferencialov

Ne [a (1) + b] . Ne (a + ne b); S teoremom A + 1 = 1.

Ne (a + b) . Ne (a + ne b); S teoremom a . 1 = a

( OPOMBA . Ne b) . [ OPOMBA . Ne (ne b)];

S teoremom Morgan not (a + b) = ne a . Ne b

( OPOMBA . Ne b) .  ( OPOMBA . B); Z dvojnim zanikanjem teorema ne (ne a) = a

OPOMBA . Ne b . OPOMBA . B; Algebrska skupina.

OPOMBA . OPOMBA . Ne b . B; Prizadenost izdelka za . B = b . Do

OPOMBA . Ne b . B; S teoremom a . A = a

OPOMBA . 0; S teoremom a . Ne a = 0

0; S teoremom a . 0 = 0

Do . B . C + ne a + a . Ne b . C

Do . C . (B + ne b) + ne a; Faktorizirajoč (a . C) s skupnim faktorjem.

Do . C . (1) + ne a; S teoremom a + ne a = 1

Do . C + ne a; Z ničelnim pravilom teorem in enoto 1 . A = a

Ne a + c ; Po zakonu od Morgana do + ne a . B = a + b

Za to rešitev je treba Morganov zakon podaljšati, da se določi:

Ne (ne a) . C + ne a = ne a + c

Ker ne (ne a) = a z involucijo.

Poenostavite logično funkcijo

OPOMBA . Ne b . Ne c + ne a . Ne b . C + ne a . Ne c do svojega minimalnega izraza

OPOMBA . Ne b . (Ne c + c) + ne a . Ne c; Faktorizirajoč (ne a . Ne b) s skupnim faktorjem

OPOMBA . Ne b . (1) + ne a . Ne c; S teoremom a + ne a = 1

(OPOMBA . Ne b) + (ne a . Ne c);  Z ničelnim pravilom teorem in enoto 1 . A = a

Ne a (ne b + ne c); Faktor ne s skupnim faktorjem

OPOMBA . Ne (b . C); Po zakonih Morgan ne (a . B) = ne a + ne b

Ne [a + (b . C)] Po zakonih Morgan ne (a . B) = ne a + ne b

Katera koli od štirih možnosti BOLD predstavlja možno rešitev za znižanje ravni vezja

Poenostavite logično funkcijo do njegovega minimalnega izraza

(Do . Ne b .  C + a . Ne b . B . D+ ne a . Ne b) . C

(Do . Ne b . C + a . 0 . D + ne a . Ne b) . C; S teoremom a . Ne a = 0

(Do . Ne b . C + 0 + ne a . Ne b) . C; S teoremom a . 0 = 0

(Do . Ne b . C + ne a . Ne b) . C; S teoremom a + 0 = a

Do . Ne b . C . C + ne a . Ne b . C; Z distributivnostjo izdelka glede na vsoto

Do . Ne b . C + ne a . Ne b . C; S teoremom a . A = a

Ne b . C (a + ne a) ; Faktorizirajoč (ne b . C) s skupnim faktorjem

Ne b . C (1); S teoremom a + ne a = 1

Ne b . C; Z ničelnim pravilom teorem in enoto 1 . A = a

Reference

1. Boolejska algebra in njegove J aplikacije. Eldon Whitesitt. Continental uredništvo, 1980.
2. Matematika in inženiring iz računalništva. Christopher J. Van Wyk. Inštitut za računalniške znanosti in tehnologijo. Nacionalni urad za standarde. Washington, d. C. 20234
3. Matematika za računalništvo. Eric Lehman. Google inc.
   F Thomson Leighton Ministrstvo za matematiko in računalništvo in laboratorij AI, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies.
4. Elementi abstraktne analize. Mícheál o'searcoid doktorat. Oddelek za matematiko. University College Dublin, Beldfield, Dublind.
5.  Uvod v logiko in metodologijo deduktivnih znanosti. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University Press.