Intefinirane integralne lastnosti, aplikacije, izračun (primeri)

The Nedoločen integral To je obratno delovanje izpeljave in za označevanje podolgovatega simbola "S" se uporablja: ∫. Matematično je napisan nedoločen integral funkcije f (x):

∫f (x) dx = f (x) + c

Kjer je integracija f (x) = f '(x) funkcija spremenljivke x, ki je posledično tista, ki izhaja iz druge funkcije f (x), imenovana integral ali antiderivacijski.

Slika 1. Indefinite Integral je eno najmočnejših orodij za matematično modeliranje. Vir: Wikimedia Commons. Ozadje / javna domena.

C je C konstanta, ki je znana kot Konstanta integracije, ki vedno spremlja rezultat katerega koli nedoločenega integrala. Njegov izvor bomo videli takoj s primerom.

Recimo, da nas prosijo, da najdemo naslednji nedoločen integral I:

I = ∫x.Dx

Takoj prepoznam f '(x) z x. Pomeni, da moramo zagotoviti funkcijo f (x), tako da je njegov izpeljan x, kar ni težko:

f (x) = ½ x²

Vemo, da ko izpeljemo f (x), pridemo do f '(x), preverimo:

[½ x²] '= 2. (½ x) = x

Zdaj funkcija: f (x) = ½ x² + 2 izpolnjuje tudi zahtevo, saj je izpeljava linearna in izpeljanka konstante je 0. Druge funkcije, ki ob izpeljavi povzročijo f (x) = so:

½ x² -1, ½ x² + petnajst; ½ x² - √2 ..

In na splošno vse funkcije obrazca:

f (x) = ½ x² + C

So pravilni odgovori za težavo.

Katera koli od teh funkcij se imenuje antiderivativna ali primitivna F '(x) = x.

Dovolj je, da poznamo enega od primitivnih, saj je edina razlika med njima konstanta C integracije.

Lahko vam služi: Poissonova distribucija: formule, enačbe, model, lastnosti

Če težava vsebuje začetne pogoje, je mogoče izračunati vrednost c, da se jim prilagodi (glej primer rešenega kasneje).

[TOC]

Kako izračunati nedoločen integral

V prejšnjem primeru smo izračunali ∫x.dx, ker je bila funkcija f (x) znana, da je ob izpeljavi privedla do integracije.

Zato je mogoče rešiti osnovne integrale iz najbolj znanih funkcij in njihovih derivatov.

Poleg tega obstajajo nekatere pomembne lastnosti, ki širijo obseg možnosti pri reševanju integrala. Biti k Resnična številka, potem je res, da:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + c

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3.- ∫H (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4.- ∫xⁿ Dx = [x^N+1/n + 1] + c (n ≠ -1)

5.- ∫x ^-1 Dx = ln x +c

Glede na integracijo obstaja več algebrskih metod in numerično za reševanje integralov. Tu omenjamo:

-Sprememba spremenljivke

-Algebrske in trigonometrične substitucije.

-Integracija po delih

-Razgradnjo v preprostih frakcijah za integracijo racionalnega tipa

-Uporaba miz

-Numerične metode.

Obstajajo integrali, ki jih je mogoče rešiti z več metodami. Na žalost ni edinstvenega merila za določitev a priori najučinkovitejša metoda za reševanje specifičnega integrala.

Pravzaprav nekatere metode omogočajo, da hitreje dosežejo rešitev nekaterih integralov kot druge. Toda resnica je, da pridobivanje spretnosti z reševanjem integralov morate vaditi z vsako metodo.

- Rešen primer

Rešiti:

Rešitev

Naredimo preprosto spremenljivo spremembo za subradično količino:

U = x-3

Z:

X = u+3

Izpeljava obe strani na obeh izrazih, ki jih dobite:

Dx = du

Zdaj nadomeščamo integral, ki ga bomo označili kot jaz:

I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u+3) (√u) du = ∫ (u+3) u^1/2 du

Vam lahko služi: ordinalna spremenljivka

Uporabljamo distribucijsko lastnost in množenje moči enake osnove in ga dobimo:

I = ∫ (u^3/2 + 3 u^1/2) du

Za lastnino 3 prejšnjega razdelka:

I = ∫ u^3/2 du +∫ 3u^1/2 du

Zdaj je uporabljena lastnost 4, ki je znana kot Pravilo moči:

Prvi integral

∫ u^3/2 du = [u ^{3/2 + 1} / (3/2 + 1)] + c₁ =

= [u^5/2  / (5/2)] + c₁ = (2/5) U^5/2  + C₁

Drugi integral

∫ 3U^1/2 du = 3 ∫u^1/2 du = 3 [u^3/2  / (3/2)] + c₂ =

= 3 (2/3) U^3/2  + C₂ = 2U^3/2  + C₂

Potem se rezultati združijo:

I = (2/5) u^5/2  + 2U^3/2  + C

Obe konstanti se lahko zbirajo v eni brez težav. Končno ne smemo pozabiti vrniti spremembe spremenljivke, ki je bila narejena prej, in rezultat izraziti v smislu izvirne spremenljivke x:

I = (2/5) (x-3)^5/2  + 2 (x-3)^3/2  + C

Rezultat je mogoče upoštevati:

I = 2 (x-3) ^3/2 [(1/5) (x-3) +1] + c = (2/5) (x-3) ^3/2 (x + 2) + c

Prijave

Nedefinični integral velja za številne modele naravnih in družbenih ved, na primer:

Gibanje

V rešitvi težav z gibanjem, da izračuna hitrost mobilnega telefona, je znana pospeševanje in pri izračunu položaja mobilnega telefona, znana njegova hitrost.

Ekonomija

Na primer izračunavanje proizvodnih stroškov in modeliranje funkcije povpraševanja.

Vaja prijave

Najmanjša hitrost, ki jo zahteva predmet, da se izogne ​​zemeljski gravitacijski privlačnosti, je podana z:

V tem izrazu:

-v je hitrost predmeta, ki želi pobegniti iz zemlje

-In to je razdalja, izmerjena od središča planeta

-M je zemeljska masa

-G je konstantna gravitacija

Vam lahko služi: normalna porazdelitev: formula, značilnosti, primer, vadba

Zahteva se, da najde razmerje med v in in, Reševanje nedoločenih integralov, če je objekt podeljen začetna hitrost V_tudi In polmer zemlje je znan in se imenuje r.

Slika 2.- Umetni satelit Soyuz. Če bo zagotovljeno preveč hitrosti, se bo izognilo resnosti zemlje, najmanjša hitrost za to se imenuje. Vir: Wikimedia Commons.

Rešitev

Predstavljamo se z dvema nedoločnimi integrali za rešitev s pravili integracije:

Yo₁ = ∫V DV = V²/2 + c₁

Yo₂ = -Gm ∫ (1/y²) dy = -gm ∫ in^-2 dy = -gm [in^-2+1/(-2 + 1)] + c₂ = Gm. in^-1 + C₂

Enako i₁ in jaz₂:

v²/2 + c₁ = Gm. in^-1 + C₂

Obe konstanti se lahko zbirajo v enem:

Ko so integrali razrešeni, uporabimo začetne pogoje, ki so naslednji: Ko je predmet na površini zemlje, je na razdalji r od središča istega. V izjavi nam pravijo, da gre za razdaljo, izmerjeno od središča zemlje.

In samo biti na površini je, da je začetna hitrost zagotovljena, s katero se bo izognila gravitacijski privlačnosti planeta. Zato lahko ugotovimo, da je v (r) = v_tudi. V tem primeru nam nič ne preprečuje nadomestitve tega stanja v rezultatu, ki smo ga pravkar dobili:

In ker v_tudi Znano je in tako so tudi G, M in R, lahko razčistimo vrednost integracijske konstante C:

Ki ga lahko nadomestimo v rezultatu integralov:

In končno razčistimo v², Faktor in pravilno razvrščanje:

To je izraz, ki navaja hitrost v satelita, ki je posnel s površine planeta (polmer r) z začetno hitrostjo vo, Ko je na daljavo in iz središča planeta.

Reference

1. Haeussler, npr. 1992. Matematika za upravo in ekonomijo. Uredniška skupina Iberoamerica.
2. Hiperfizika. Pobeg hitrosti. Okrevano od: hThiperphysics.PHY-ASST.GSU.Edu.
3. Larson, r. 2010. Izračun spremenljivke. 9na. Izdaja. McGraw Hill.
4. Purcell, e. 2007. Izračun z analitično geometrijo. 9na. Izdaja. Pearson Education.
5. Wolfram Mathworld. Primer integralov. Okreval od: Mathworld.Wolfram.com.