Bijektivna funkcija Kaj je, kako je, primeri, vaje

A Bijektivna funkcija To je tisti, ki izpolnjuje dvojni pogoj biti Injektivno in pretirano. To pomeni, da imajo vsi elementi domene eno samo sliko v kodominiju, zato je kodominium enak območju funkcije ( R_F ).

Izpolnjeno je, ko upošteva biunivokalno razmerje med elementi domene in kodominija. Preprost primer je funkcija F: r → R definirana s črto F (x) = x

Vir: Avtor

Opažamo, da je za vsako vrednost domene ali nabora odhoda (oba izraza veljata enako) v kodominiju ali nastavitvi prihoda ena sama slika. Poleg tega ni elementa kodominija, ki ni slika.

Tako F: r → R definirana s črto F (x) = x je bijektiven

[TOC]

Kako je bijjektivna funkcija?

Če želite odgovoriti na to, je treba imeti jasne koncepte, povezane z Injektivnost in Prekomernost funkcije, Poleg meril za kondicioniranje funkcij, da jih prilagodimo zahtevam.

Injektivnost funkcije

Funkcija je Injektivno Ko je vsak element svoje domene povezan z enim samim elementom kodominija. Element kodominija je lahko le slika enega samega elementa domene, na ta način vrednosti odvisne spremenljivke ni mogoče ponoviti.

Razmisliti Injektivno Naslednje je treba izpolniti funkcijo:

∀ x₁  ≠ x₂   ⇒ F (x₁ ) ≠ f (x₂ )

Prekomernost funkcije

Funkcija je razvrščena kot Pretirano, Če je vsak element njegovega kodominija slika vsaj enega domenskega elementa.

Razmisliti Pretirano Naslednje je treba izpolniti funkcijo:

Vam lahko služi: nadomestno vzorčenje

Biti F: d_F → C_F

∀ B ℮ C_F  In do ℮  D_F   / F (a) = b

To je algebrski način, da ugotovimo, da za vsak "B", ki spada v C_F Obstaja "A", ki pripada D_F tako, da je funkcija, ocenjena v "a", enaka "B". 

Kondicioniranje funkcij

Včasih funkcija, ki ni Bijective, lahko podvrže določeni kondiciji. Ti novi pogoji lahko to spremenijo v Bijektivna funkcija. Vse vrste sprememb domene in kodominija funkcije so veljavne, kjer je cilj izpolniti injektivnost in prekomerne lastnosti v ustreznem razmerju.

Primeri: rešene vaje

Vaja 1

Biti funkcija F: r → R definirana s črto F (x) = 5x +1

O: [Vse resnične številke]

Opazimo, da za katero koli vrednost domene obstaja slika v kodominiju. Ta slika je edinstvena, kar naredi F biti eden Injektivna funkcija. Na enak način opažamo, da je kodominium funkcije enak njegovemu območju. Tako izpolnjevanje pogoja Pretiranost.

Ker smo injektivni in pretirani, hkrati lahko sklepamo

F: r → R definirana s črto F (x) = 5x +1 je Bijektivna funkcija.

To velja za vse linearne funkcije (funkcije, katerih večja stopnja spremenljivke je ena).

Vaja 2

Biti funkcija F: r → R definirano s F (x) = 3x² - 2

Pri risanju vodoravne črte opazimo, da graf najdemo večkrat. Zaradi tega je funkcija F Ni injektiven in zato ne bo Bijective Medtem ko je opredeljen v R → R

Na enak način obstajajo vrednosti kodominija, ki niso slike nobenega elementa domene. Zaradi tega funkcija ni prekomerna, kar je tudi zaslužno za pogoj nabora prihoda.

Vam lahko služi: teorija nastavitve: značilnosti, elementi, primeri, vaje

Domena in kodominium funkcije je pogojena

                                               F: [0 , ∞] → [ - 2 , ∞ ]

Kjer opazimo, da nova domena pokriva vrednosti od nič do pozitivne neskončnosti. Izogibanje ponovitvi vrednosti, ki vpliva na injektivnost.

Tako je bil kodominium spremenjen, odšteva se od "-2" v pozitivno neskončnost, ki iz kodominija izloči vrednosti, ki niso ustrezale nobenemu domenskemu elementu

Na ta način je mogoče zagotoviti F : [0 , ∞] → [ - 2 , ∞ ] definirano s F (x) = 3x² - 2

Je bijektivno

Vaja 3

Biti funkcija F: R → R definirano s F (x) = greh (x)

V intervalu [ -∞ , +∞ ] Funkcija sinusa spreminja svoje rezultate med ničlo in eno.

Vir: Avtor.

Funkcija F Ne ustreza kriterijem injekcije in prekomernosti, ker se odvisne spremenljive vrednosti ponavljajo vsak π interval. Poleg tega pogoji kodominija zunaj intervala [-eleven] Niso podoba nobenega domenskega elementa.

Pri preučevanju grafike funkcije F (x) = greh (x) intervali opazimo, kjer vedenje krivulje izpolnjuje merila Bijektivnost. Kot je interval  D_F  = [  π/2,3π/2  ] Za domeno. In C_F  = [-1, 1] Za kodominium.

Kjer se funkcija razlikuje od 1 do -1, ne da bi v odvisni spremenljivki ponavljali kakršno koli vrednost. In hkrati je co -oominium enak vrednostim, ki jih je sprejel izraz Greh (x)

Na ta način je funkcija F: [  π/2,3π/2  ] → [-1, 1]  definirano s F (x) = greh (x). Je bijektivno

Vaja 4

Povečati potrebne pogoje za D_F in c_F. Tako da je izraz

Lahko vam služi: Napaka vzorčenja: formule in enačbe, izračun, primeri

F (x) = -x²  Biti bikcije.

Vir: Avtor

Ponavljanje rezultatov opazimo, ko spremenljivka prevzame nasprotne vrednosti:

F (2) = f (-2) = -4

F (3) = f (-3) = -9

F (4) = f (-4) = -16

Domena je kondicionirana in jo omejuje na desno stran prave črte.

D_F = [0 , +∞ ]

Na enak način je opaziti, da je obseg te funkcije interval [ -∞ , 0, ki s kodominijem izpolnjuje pogoje prekomernosti.

Na ta način lahko to sklepamo

Izraz F: [0 , +∞ ] → [ -∞ , 0 definirano s F (x) = -x²   Je bijektivno

Predlagane vaje

Preverite, ali so naslednje funkcije Bijective:

F: [0 , ∞) → R definirano s F (x) = 3 (x + 1)²  +2

F: [ 3π/2,5π/2  ] → R definirano s F (x) = 5ctg (x)

F: [ -π,π  ] → R definirano s F (x) = cos (x - 3)

F: r → R definirana s črto F (x) = -5x + 4

Reference

1. Uvod v logiko in kritično razmišljanje. Merrilee h. Losos. Univerza v Pittsburghu
2. Težave v matematični analizi. Piotr Bilar, Alfred Witkowski. Univerza v Wroclawu. Palica.
3. Elementi abstraktne analize. Mícheál o'searcoid doktorat. Oddelek za matematiko. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Uvod v logiko in metodologijo deduktivnih znanosti. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University Press.
5. Načela matematične analize. Enrique Linés Escardó. Uredništvo Reverté s. Do leta 1991. Barcelona, ​​Španija.