Delne frakcije

Metoda razgradnje v delnih frakcijah se uporablja za reševanje integralov. Vir: f. Zapata.

Kaj so delne frakcije?

Metoda delne frakcije o Enostavne frakcije se uporabljajo v algebri in matematičnem izračunu za razgradnjo racionalnega izraza, pri čemer pustimo algebrsko vsoto preprostejših frakcij.

Kot dodatne preproste frakcije je izračun operacij, kot so izvedeni finančni instrumenti in integrali, med drugim olajšan.

Razmislite o naslednjem racionalnem algebrskem izrazu, ki ga sestavljajo polinomi p (x) in q (x) v števcu oziroma imenovalca:

Ta izraz želite napisati kot vsoto manjših ulomkov. Če želite to narediti, je treba opozoriti, da je polinom Q (x) v imenovalcu kvadratni trinomial, ki je lahko hitro dejavnik kot produkt dveh dejavnikov:

x²+x - 12 = (x+4) (x - 3)

Zato prejšnji izraz ostane na naslednji način:

Če poznate vsoto ulomkov, ta način pisanja izraza zlahka vodi do tega drugega:

Še vedno najdemo vrednosti A in B, tako da je izvirni izraz izražen kot vsota teh dveh manjših ulomkov. Za prikazani primer so vrednosti: a = 3 in b = 2, bralec pa lahko potrdi, da dejansko vsota:

Je enakovreden prvotnemu izrazu:

Glede na to:

Kako se izračunajo delne frakcije?

Obstajajo metode za izračun koeficientov, ki morajo iti v števce preprostih frakcij, ki so odvisne od oblike prvotnega racionalnega izraza, torej od oblike p (x)/q (x).

Najprej se je treba spomniti, da je, ko je stopnja p (x) manjša od stopnje Q (x) lastni racionalni izraz, In če se zgodi nasprotno, je nepravilni racionalni izraz.

Metode za razgradnjo v preprostih frakcijah se nanašajo na njihove lastne algebrske izraze, če jih ni, jih je treba najprej zmanjšati, pri čemer izvajajo operacijo delitve p (x)/q (x).

Lahko vam služi: trigonometrične identitete (primeri in vaje)

Nato je cilj najti števce vsakega od ulomkov, za katere se razlikujejo štirje primeri, kar je odvisno od faktorizacije imenovalca Q (x).

Primer 1: Dejavniki Q (x) so linearni in niso ponovljeni

Če so dejavniki Q (x) linearni in se ne ponavljajo, to je oblike (x-a_Yo)::

Q (x) = (x -a₁) (za₂)… (Za_n)

Z₁ ≠ a₂  ≠ a₃ … ≠ a_n, to pomeni, da so vsi dejavniki Q (x) različni, racionalni izraz je zapisan kot:

Vrednosti a₁, Do₂, Do₃… Do_n, Morajo biti določeni. Racionalni izraz, prikazan na začetku, je primer tega primera.

Primer 2: Q (x) ima ponavljajoče se linearne faktorje

Če je q (x) sestavljen iz ponavljajočega se faktorja obrazca (x - a)ⁿ, Z n ≥ 2 se razgradnja v delnih frakcijah izvaja na naslednji način:

Kot v prejšnjem primeru je treba koeficiente določiti z algebrskimi postopki.

Primer 3: q (x) ima nerazrešeni nereduktivni kvadratni faktor

Če se z faktoriranjem Q (x) pojavi nereduktivni kvadratni faktor, iz oblike sekire²+BX+C je za ta faktor v razgradnjo vključiti, dodajanje s tem obrazcem:

Vrednosti A in B je treba najti.

Primer 4: q (x) ima neprebujen in ponavljajoč se kvadratni faktor

Ob predpostavki, da faktorizacija q (x) vsebuje neprekinjen in ponavljajoč se kvadratni faktor²+Bx+c)ⁿ, Vključiti morajo naslednje dodatke:

Kot vedno je treba izračunati potrebne koeficiente. Spodnji primeri prikazujejo potrebne algebrske postopke.

Primeri delnih ulomkov

Primer 1

Naslednji lastni racionalni izraz:

Že prihaja z faktoriziranim imenovalcem, ki ga sestavljata dva nerazporejena linearna dejavnika, zato je q (x):

Q (x) = (x+2) (x -1)

Nato razgradnja v iskanih delnih frakcijah ustreza zadevi 1, saj lahko napiše:

Za iskanje ustreznih vrednosti A in B se vsota enakosti izvede:

Vam lahko služi: elipse

Izenačevanje števcev:

A (x - 1) + b (x + 2) = 3x

Uporaba distribucijske lastnosti in razvrščanje podobnih izrazov:

AX - A + BX + 2B = 3x

(A +b) x +( - a +2b) = 3x

Koeficient (A+B) je enak 3, saj oba spremljata na obeh straneh enakosti do izraza, ki vsebuje "x". Koeficient (−a+2b) je enak 0, saj na pravico do enakosti ni drugega podobnega izraza.

Nato se oblikuje naslednji sistem dveh enačb z dvema neznankoma:

A+b = 3
−a+2b = 0

Katere rešitev je:

A = 2
B = 1

Zato:

Bralec lahko preveri enakost in izvede vsoto odsekov na desni strani.

Primer 2

V tem drugem izrazu:

Tudi faktorski videz ponavljajočega se izraza (x+1)², Poleg linearnega izraza (x+2). V tem primeru je razgradnjo v delnih frakcijah, kot je navedeno v primeru 2,:

Če želite najti vrednosti A, B in C, se izvede vsota desne in se uporablja samo števca:

Števec nastalega izraza je enak tistemu prvotnemu izrazu, ki razvija algebraično, da loči podobne izraze:

A (x+1)² + B (x+2) (x+1)+c (x+2) = x - 3

A (x²+2x+1)+b (x²+3x+2)+c (x+2) = x --3

(A+b) x² + (2a+3b+c) x+(a+2b+2c) = x - 3

Iz rezultata je sistem treh enačb s tremi neznanimi A, B in C:

A + B = 0
2a+3b+c = 1
A+2b+2c = −3

Sistemska rešitev je:

A = −5
B = 5
C = −4

Razgradnja v zahtevanih delnih frakcijah je:

Vaja rešena

Ta razdelek prikazuje rešeno vajo, ki prikazuje uporabo metode delnih ulomkov ali preprostih ulomkov, za izračun nedoločenih integralov. Cilj je napisati integracijo na enostavnejši način.

Ko so ponovno napisani, dobljeni preprosti integrali iščejo v tabeli ali razrešeni s preprosto spremembo spremenljivke.

Vam lahko služi: Zgodovinsko ozadje analitične geometrije

Zahteva se izračunati naslednji integral:

Rešitev

Prva je preveriti, ali je integracija res lasten racionalen algebrski izraz, saj je stopnja števca manjša od stopnje imenovalca. Njegov imenovalec je enostavno upoštevati in ostaja:

Zato je q (x):

Q (x) = x (x²+2)

In je sestavljen iz linearnega izraza: x in nereducibilni kvadratni izraz se ne ponovi: x x²+2 je torej kombinacija primera 1 in primera 3. Razgradnja v delnih frakciji integracije je:

Naredi vsoto desno od enakosti:

Kot vedno za delne frakcije deluje samo s števcem izraza vsote, ki mora biti vedno enak tistemu iz prvotnega izraza:

A (x² + 2) + x (bx + c) = 2

Razvoj:

Sekira² + 2A + BX² + Cx = 2

Razvrščanje podobnih izrazov:

(A+b) x² + Cx + 2a = 2

Enako koeficiente podobnih izrazov se pridobi sistem enačb, ki jih je treba rešiti, z neznanimi A, B in C:

A + B = 0
C = 0
2a = 2

Iz druge enačbe je že znano, da je C = 0, od zadnjega izhaja, da je a = 1, torej b = -1, tako da je prvi. S temi vrednostmi dobimo:

Zdaj je nadomeščen v originalnem integralu:

In dobimo dva preprosta integrala z osnovnimi funkcijami, najdena v tabelah ali sta hitra ločljivost.

Prvi IDE, ki je ta integral, je osnovni:

In drugi integral:

Rešeno je z naslednjo spremembo spremenljivke: u = x²+4, du = 2xdx, ki povzroča:

Vrnitev spremembe spremenljivke:

Končno, če zbiramo oba rezultata, se določi rešitev:

Dve konstanti integracije gresta v enem, imenovani C.

Reference

1. Araujo, f. 2018. Integralni računanje. Prodajna politehnična univerza. Uredništvo univerze Abya-Yala. Quito, Ekvador.
2. Arcega, r. Integracija z razgradnjo v delnih frakcijah. Okreval od: uaeh.Edu.mx.
3. Larson, r. 2012. Prekalenkulacija. 8. Izdaja. Cengage učenje.
4. Purcell, e. J. 2007. Izračun. 9na. Izdaja. Dvorana Prentice.
5. Swokowski, e. 2011. Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. 13. Izdaja. Cengage učenje.