Primeri in vaje za skupno faktorizacijo

The Skupna faktorizacija algebrskega izraza je sestavljeno iz določitve dveh ali več dejavnikov, katerih produkt je enak predlaganemu izrazu. Na ta način se vedno začne postopek faktorizacije.

Za to opazimo, če obstaja skupni izraz, ki je lahko tako črke kot številke. V primeru črk se skupni literali štejejo kot skupni dejavnik vsem izrazom, ki imajo najmanjši eksponent, za številke.

Slika 1. V skupni faktorizaciji se iščejo dobesedni in koeficienti, ki so skupni za vsak izraz. Vir: pixabay/f. Zapata.

Izdelek obeh skupnih dejavnikov, če je drugačen od 1, bo pogost dejavnik izraza. Ko ga najdemo z delitvijo vsakega mandata med omenjenim faktorjem, se vzpostavi končna faktorizacija.

Tu je primer, kako to storiti, tako da upoštevamo to trinomialno:

4x⁵-12x³+8x²

Vidimo, da vsi izrazi vsebujejo dobesedno "x", katerega najmanj moč je x². Kar zadeva numerične koeficiente: 4, -12 in 8 so vsi večkratniki 4. Zato je skupni dejavnik 4x².

Ko najdete faktor, je vsak izraz prvotnega izraza razdeljen med njim:

• 4x⁵ / 4x² = x³
• -12x³ / 4x² = -3x
• 8x²/ 4x² = 2

Končno je izraz napisan kot produkt skupnega faktorja in vsote rezultatov prejšnjih operacij, kot je ta:

4x⁵-12x³+8x² = 4x² (x³ - 3x +2)

[TOC]

Kako upoštevati, kadar ni skupnega dejavnika

Če skupni dejavnik ni razviden kot v prejšnjem primeru, je še vedno mogoče upoštevati, pri čemer natančno opazujemo izraz, da preverimo, ali je mogoče izvesti katero koli od naslednjih metod:

Lahko vam služi: polibalna grafika

Razlika dveh popolnih kvadratov

To je binomni izraz oblike:

do² - b²

To je lahko dejavnik z uporabo pomembnega izdelka:

do² - b² = (a+b) ⋅ (a-b)

Postopek je naslednji:

-Najprej izvlecite kvadratni koren vsakega od popolnih kvadratov.

-Nato oblikujte izdelek med vsoto teh korenin in njegovo razliko, kot je navedeno.

Popoln kvadratni trinomial

Trinomiji oblike:

x² ± 2a⋅x + a²

Ukvarjajo se s pomembnim izdelkom:

(x+a)² = x² ± 2a⋅x + a²

Za uporabo te faktorizacije je treba podkrepiti, da ima trinomial v veljavi dva popolna kvadrata in da je preostali izraz dvojni produkt kvadratnih korenin teh vrednosti.

Trinomial oblike x² + mx + n

Če trinomialni do faktorja nima dveh popolnih kvadratov, ga poskušajo napisati kot izdelek dveh izrazov:

x² + mx + n = x² + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)

Kje je treba izpolniti kadarkoli:

N = A⋅B

M = A+B

Faktorizacija z razvrščanjem pogojev

Včasih izraz, ki je faktor, nima skupnega dejavnika, niti ne ustreza nobenemu od zgoraj opisanih primerov. Če pa je število njegovih pogojev enakomerno, je ta postopek mogoče poskusiti:

-Skupinski pari, ki imajo skupni dejavnik.

-Dejavnost vsakega para po skupnem faktorju, tako da so izrazi v oklepajih enaki, torej tako, da je oklepaj pogost dejavnik. Če z izbrano skupino ni, morate poskusiti z drugo kombinacijo, da jo najdete.

-Iskana faktorizacija je produkt izrazov znotraj oklepaja za skupne dejavnike vsakega para.

Primere, ki bodo pomagali razjasniti obravnavane primere.

Primeri

Faktor naslednji algebrski izrazi:

a) 6AB² - 18²b³

To je primer skupnega dejavnika. Začenši z dobesednim delom, sta črka A in B prisotna v obeh pogojih. Za spremenljivko "A" je manjši eksponent 1 in je v primeru 6AB², medtem ko je za črko "b" manjši eksponent B².

Vam lahko služi: inverzne trigonometrične funkcije: vrednost, derivati, primeri, vaje

Potem, ab² Je pogost dejavnik v prvotnem izrazu.

Kar zadeva številke, obstajata 6 in -18, slednja je večkratna 6, saj -18 = -(6 × 3). Zato je 6 numerični koeficient skupnega faktorja, ki se je pomnožil z dobesednim delom, je:

6AB²

Zdaj je vsak izvirni izraz razdeljen s tem skupnim dejavnikom:

• 6AB² ÷ 6AB² = 1
• (-18²b³) ÷ 6AB² = -3ab

Končno je izvirni izraz napisan kot izdelek med skupnim faktorjem in algebrskim vsoto izrazov, ki jih najdemo v prejšnjem koraku:

6AB² - 18²b³ = 6ab² ⋅ (1-3ab)

b) 16x² - 9

Ta izraz je razlika od popolnih kvadratov, zato se z pridobivanjem kvadratnih korenin do obeh izrazov pridobi:

√ (16x²) = 4x

√9 = 3

Izvirni izraz je napisan kot produkt vsote teh kvadratnih korenin po njegovi razliki:

16x² - 9 = (4x+3) (4x-3)

c) z² + 6z + 8

Je trinomial oblike x² + MX + N, saj 8 ni popoln kvadrat druge celotne številke, zato morate najti dve številki A in B, tako da hkrati izpolnjujejo:

• do.B = 8
• A + b = 6

Po Tanteu, torej testiranju, so iskane številke 4 in 2, saj:

4 × 2 = 8 in 4 + 2 = 6

Tako:

z² + 6z+8 = (z+4) ⋅ (z+2)

Bralec lahko preveri in uporabi distribucijsko lastnost na desni strani enakosti, da sta oba izraza enakovredna.

d) 2x² - 3xy - 4x + 6y

Ta izraz je kandidat za faktorizacijo z razvrščanjem izrazov, saj ni nobenega skupnega dejavnika očitnega za smiselno oko in ima tudi nekaj izrazov.

Združena je na naslednji način, saj ve, da vrstni red dodatkov ne spremeni vsote:

Vam lahko služi: obtusagle Trikotnik

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x² -3xy) + (4x-6y)

Vsaka oklepaja ima svoj skupni dejavnik:

(2x²  - 3xy) + (4x-6y) = x (2x-3y) + 2 (2x-3y)

Dokončni skupni faktor je bil že razkrit: v obeh pogojih se ponavlja oklepaja (2x -3y).

Zdaj je lahko spet dejavnik:

• x (2x-3y) ÷ (2x-3y) = x
• 2 (2x-3y) ÷ (2x-3y) = 2

Zato:

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x -3y) (x + 2)

Spet lahko bralec uporabi distribucijsko lastnost pravice do enakosti, da potrdi enakost enakosti.

Rešene vaje

Faktorizirajte:

a) in² - 10y + 25

b) 4x² + 12xy + 9y²

c) x² + 5x - 14

d) 3⁴ + do³ + 15A + 5

Rešitev

Je popoln kvadratni trinomial, začne se z iskanjem kvadratnega korena popolnih kvadratnih izrazov:

√ (in²) = y

√ 25 = 5

Preverjeno je, da je izraz centra dvojni produkt teh dveh:

10y = 2. 5. in

In iskana faktorizacija je:

in² - 10y + 25 = (y-5)²

Rešitev b

Izraz je tudi popoln kvadratni trinomial:

√ (4x²) = 2x

√ (9y²) = 3y

Osrednji izraz je preverjen:

12xy = 2⋅2x⋅3Y

Končno:

4x² + 12xy + 9y² = (2x+3y)²

Rešitev c

Težava je trinomija tipa X² + MX + N:

n = a⋅B = -14 = 7 x ( - 2)

M = A + B = 5 = 7 + (- 2) = 5

Ustrezne številke so 7 in -2:

x² + 5x - 14 = (x +7) (x - 2)

Rešitev d

3. mesto⁴ + do³ + 15a + 5 = (3a⁴ + do³) + (15a + 5)

Skupni dejavnik (3⁴ + do³) to³ In (15a + 5) je 5, razvrščeno je na naslednji način:

(3⁴ + do³) + (15a + 5) = a³ (3a+1) +5 (3a+1) = (3a+1) (a³ + 5)

Slika 2. Faktorizacijske vaje za prakso. Vir: f. Zapata.

Reference

1. Baldor, a. 2005. Algebra. Kulturna domovinska skupina.
2. Larson, r. 2012. Prekalenkulacija. 8. Izdaja. Cengage učenje.
3. Mathworld. Faktorizacija. Okreval od: Mathworld.Wolfram.com.
4. Mathworld. Polinomna faktorizacija. Okreval od: Mathworld.Wolfram.com.
5. Stewart, J. 2007. Predhodno: matematika za izračun. 5. Izdaja. Cengage učenje.
6. Zill, d. 1984. Algebra in trigonometrija. McGraw Hill.