Formula matematičnega upanja, lastnosti, primeri, vadba

The matematično upanje ali pričakovana vrednost naključna spremenljivka X, označen je kot E (x) in je opredeljen kot vsota izdelka med verjetnostjo naključnega dogodka in vrednostjo omenjenega dogodka.

V matematični obliki se izraža na naslednji način:

μ = e (x) = ∑ x_Yo. P (x_Yo) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

Slika 1. Matematično upanje se pogosto uporablja na borzi in zavarovalnem področju. Vir: Pixabay.

Kjer x_Yo Je vrednost dogodka in p (x_Yo) njegova verjetnost pojavljanja. Seštevanje sega na vse sprejete vrednosti x. In če so ti končni, je povzetek naveden, da se zbliža na vrednost e (x), če pa se vsota ne zbliža, potem preprosto spremenljivka nima pričakovane vrednosti.

Ko gre za neprekinjeno spremenljivko x, Spremenljivka ima lahko neskončne vrednosti in integrali nadomeščajo povzetke:

Tukaj f (x) predstavlja Funkcija gostote verjetnosti.

Na splošno matematično upanje (ki je tehtano povprečje) ni enako aritmetičnemu ali povprečnemu povprečju, razen če gre za diskretne porazdelitve, pri katerih je vsak dogodek enako verjeten. Torej in šele takrat:

μ = e (x) = (1/n) ∑ x_Yo

Kjer je n število možnih vrednosti.

Koncept je zelo koristen na finančnih trgih in zavarovalnicah, v katerih gotovosti pogosto primanjkuje, vendar so verjetno.

[TOC]

Lastnosti matematičnega upanja

Med najpomembnejšimi lastnostmi matematičnega upanja so naslednje:

- Znak: Če je x pozitiven, potem bo tudi e (x).

- Pričakovana vrednost konstante: Pričakovana vrednost resnične konstante k To je konstanta.

E (k) = k

- Linearnost v vsoti: upanje naključne spremenljivke, ki je vsota dveh spremenljivk x y y vsota upanja.

Vam lahko služi: urejen par

E (x + y) = e (x) + e (y)

- Množenje s konstanto: Če je naključna spremenljivka oblika kx, kje k Je konstanta (resnično število), izhaja iz pričakovane vrednosti.

E (kx) = k e (x)

- Pričakovana vrednost izdelka in neodvisnost med spremenljivkami: Če je naključna spremenljivka produkt naključnih spremenljivk, ki so neodvisne, potem je pričakovana vrednost izdelka produkt pričakovanih vrednosti.

Ex.Y) = e (x).ZDRAVO)

- Naključna spremenljivka Y = ax + b: Uporabljajo se prejšnje lastnosti.

E (ax + b) = ae (x) + e (b) = ae (x) + b

Na splošno, da Y = g (x):

E (y) = e [g (x)] = ∑ g (x_Yo). P [g (x_Yo)

- Naročilo v pričakovani vrednosti: Da x ≤ y, potem:

E (x) ≤ e (y)

Ker obstajajo pričakovane vrednosti vsakega od njih.

Matematično upanje v stav

Ko znani astronom Christian Huygens (1629-1695) ni opazoval nebes, je bil med drugimi disciplinami posvečen študiju verjetnosti pri igrah na srečo. Prav on je v svojem delu iz leta 1656 uvedel koncept matematičnega upanja: Sklepanje o igrah na srečo.

Slika 2. Christiaan Huygens (1629-1625) je bil sijajen in vsestranski znanstvenik, ki mu dolgujemo koncept pričakovane vrednosti.

Huygens je ugotovil, da je mogoče stave razvrstiti na tri načine, glede na pričakovano vrednost:

-Igre z prednostjo: E (x)> 0

-Poštene stave: E (x) = 0

-Igra prikrajšanja: E (x) < 0

Težava je v tem, da v igri naključnega matematičnega upanja ni vedno enostavno izračunati. In ko lahko rezultat, je včasih razočaranje za tiste, ki se vprašajo, ali naj stavijo ali ne.

Poskusimo s preprosto stavo: obraz ali križ in tisti, ki izgubi, plača kavo 1 $. Kakšna je pričakovana vrednost te stave?

Vam lahko služi: kakšna je smernica? (Geometrija)

No, verjetnost dragega je ½, tako kot izide križ. Naključna spremenljivka je, da osvojite 1 dolar ali izgubite 1 dolar, dobiček je označen z znakom + in izgubo z znakom -.

Podatke organiziramo v tabeli:

Pomnožimo vrednosti stolpcev: 1. ½ = ½ y (-1). ½ = -½ in končno so dodani rezultati. Vsota je 0 in je poštena igra, v kateri se pričakuje, da bodo udeleženci zmagali ali izgubili.

Francoska ruleta in loterija sta igra z pomanjkljivostjo, v kateri izgubi večina traigatorjev. Kasneje je v razdelku Rešene vaje nekoliko bolj zapletena stava.

Primeri 

Tu je nekaj preprostih primerov, kjer je koncept matematičnega upanja intuitiven in pojasnjuje koncept:

Primer 1

Začeli bomo z lansiranjem poštenih kock. Kakšna je pričakovana izhodiščna vrednost? No, če je kocka iskrena in ima 6 obrazov, verjetnost, da vsaka vrednost (x = 1, 2, 3 ... 6) pusti 1/6, kot je ta:

E (x) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5.(1/6) + 6. (1/6) = 21/6 = 3.5

Slika 3. Ob uvedbi poštene kocke pričakovana vrednost ni možna vrednost. Vir: Pixabay.

Pričakovana vrednost v tem primeru je enaka povprečju, saj ima vsak obraz enako verjetnost, da bo izšel. Toda E (x) ni možna vrednost, saj noben obraz ni vreden 3.5. To je popolnoma mogoče v nekaterih distribucijah, čeprav v tem primeru rezultat ne pomaga veliko staviti.

Poglejmo še en primer z uvedbo dveh kovancev.

Primer 2

Dva poštena kovanca se vržeta v zrak in določita naključno spremenljivko x kot število pridobljenih obrazov. Dogodki, ki se lahko zgodijo, so naslednji:

Vam lahko služi: 90 delitev: kaj so in razlaga

-Noben obraz ne izide: 0 obrazov, ki so enaki 2 križem.

-1 obraz in 1 tesnilo ali križ izide.

-2 obraza izideta.

Naj bo C obraz in pečat, vzorec vzorca, ki opisuje te dogodke, je naslednji:

S_m = Seal-ISO; Seal-cara; Face-yel; Cara-cara = tt, tc, ct, cc

Možnosti za dogodke so:

P (x = 0) = p (t).P (t) = ½ . ½ = ¼

P (x = 1) = p (tc) + p (ct) = p (t).P (c) + p (c).P (t) = ¼ +¼ = ½

P (x = 2) = p (c).P (c) = ½ . ½ = ¼

Tabela je zgrajena z dobljenimi vrednostmi:

Glede na definicijo na začetku se matematično upanje izračuna kot:

μ = e (x) = ∑ x_Yo. P (x_Yo) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

Zamenjava vrednosti:

E (x) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Ta rezultat se razlaga na naslednji način: Če ima človek dovolj časa, da naredi veliko število poskusov, ki izstrelijo oba kovanca.

Vendar vemo, da so izdaje, v katerih se izideta 2 znamki.

Vaja rešena

Ob predstavitvi dveh poštenih valut je narejena naslednja stava: če izide 2 obraza, zaslužijo 3 USD, če dobite 1 obraz, če pa izidete dve znamki, morate plačati 5 USD. Izračunajte pričakovani dobiček stave.

Slika 4. Glede na BET se matematično upanje spremeni z zagonom dveh poštenih kovancev. Vir: Pixabay.

Rešitev

Naključna spremenljivka x so vrednosti, ki jih denar vzame v stavo, in verjetnosti so bile izračunane v prejšnjem primeru, zato je tabela stave:

E (x) = 3 . ¼ + 1. ½ + (-5) . ¼ = 0

Ker je pričakovana vrednost 0, gre za pošteno igro, zato se tukaj pričakuje, da Bettor ne zmaga in ne izgubi. Vendar bi lahko stave spremenili, da bi stavo spremenili v igro s prednostjo ali igro s pomanjkljivostjo.

Reference

1. Brase, c. 2009. Podmehljiva statistika. Hougton Mifflin.
2. Olmedo, f. Uvod v koncept pričakovane vrednosti ali matematičnega upanja naključne spremenljivke. Okrevano od: Osebno.nas.je.
3. Statistika librettexts. Pričakovana vrednost diskretnih naključnih spremenljivk. Pridobljeno iz: statistika.Librettexts.org.
4. Triola, m. 2010. Osnovna statistika. 11. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, r. 2007. Verjetnost in statistika znanosti in inženirstva. 8. Izdaja. Pearson Education.