Običajni izračun in primer vektorja

On Običajni vektor To je ena, ki definira smer, pravokotno na geometrijsko entiteto, ki je lahko na primer za krivuljo, ravnino ali površino.

Je zelo uporaben koncept pri pozicioniranju mobilnega delca ali kakšne površine v vesolju. V naslednjem grafu je mogoče videti, kako je običajni vektor na poljubno krivuljo C:

Slika 1. C krivulja z običajnim vektorjem do krivulje v točki P. Vir: svjo [cc by-sa 3.0 (https: // creativeCommons.Org/licence/by-sa/3.0)]

Razmislite o točki P na krivulji c. Točka lahko predstavlja mobilni delček, ki se premika po cesti v obliki črke C. Črta tangenta do krivulje v točki P je videti v rdeči barvi.

Upoštevajte, da vektor T V vsaki točki je tangentno, medtem ko je vektor N je pravokotno na T in kaže na središče namišljenega oboda, katerega lok je segment C. Vektorji so v tiskanem besedilu označeni s krepko črko, da jih razlikujejo od drugih ne -vektorskih velikosti.

Vektor T Vedno označuje, kje se delček premika, zato kaže na hitrost istega. Namesto tega vektor N Vedno usmerite v smeri, v kateri se delček obrača, na ta način označuje konkavitacijo krivulje C.

[TOC]

Kako priti do običajnega vektorja do letala?

Običajni vektor ni nujno enotni vektor, torej vektor, katerega modul je 1, če pa je tako, se imenuje Običajni vektor enote.

Slika 2. Na levi ravni P in dva običajna vektorja do omenjenega letala. Na desni strani enote vektorjev v treh smereh, ki določajo prostor. Vir: Wikimedia Commons. Glej stran za avtorja [Public Domain]

V številnih aplikacijah je treba poznati običajni vektor do letala namesto krivulje. Ta vektor daje orientacijo omenjene ravnine v vesolju. Na primer, razmislite o ravnini Str (rumena) slike:

Lahko vam služi: Gemin: izvor, značilnosti in kako jih opazovati

Na tej ravnini sta dva normalna vektorja: n₁ in n₂. Uporaba enega ali drugega bo odvisna od konteksta, v katerem najdete omenjeno ravnino. Pridobivanje običajnega vektorja na ravnino je zelo preprosto, če je znana enačba:

AX + by + cz + d = 0, z do, b, c in d resnične številke.

No, običajni ravninski vektor daje:

N = a Yo + b J + c k

Tu vektor N se izraža v smislu enotnih vektorjev in med seboj pravokotno Yo, J in k, usmerjeno v tri smeri, ki določajo prostor X in z, Glej sliko 2 prav.

Običajni vektor iz vektorskega izdelka

Zelo preprost postopek za iskanje običajnega vektorja uporablja lastnosti vektorskega izdelka med dvema vektorjem.

Kot je znano, tri različne točke in ne kolinealno med seboj, določite P ravnino. Zdaj je mogoče pridobiti dva vektorja ali in v ki pripada omenjenemu letalu, ki ima te tri točke.

Ko so vektorji, Vektorski izdelek ali x v To je operacija, katere rezultat je vektor, ki ima lastnost, ki je pravokotna na ravnino ali in v.

Znan ta vektor, označen je kot N, In iz njega bo mogoče določiti enačbo ravnine zahvaljujoč enačbi, navedeni v prejšnjem razdelku:

N = ali x v

Naslednja slika prikazuje opisani postopek:

Slika 3. Z dvema vektorji in njihovim vektorjem ali navzkrižnim izdelkom se določi enačba ravnine, ki vsebujeta oba vektorja. Vir: Wikimedia Commons. Noben strojno berljiv avtor ni zagotovil. M.Domneval je Romero Schmidtke (na podlagi zahtevkov za avtorske pravice). [Javna domena]

Primer

Poiščite enačbo ravnine, določene s točkami A (2,1,3); B (0,1,1); C (4,2,1).

Vam lahko služi: enačba kontinuitete

Rešitev

Ta vaja ponazarja zgoraj opisan postopek. S 3 točkami je eden izmed njih izbran kot skupni izvor dveh vektorjev, ki pripadata ravnini, ki ga določajo te točke. Na primer, točka A je nastavljena kot izvor in vektorji so zgrajeni Ab in AC.

Vektor Ab To je vektor, katerega izvor je točka A in katerih konec je točka B. Vektorske koordinate Ab Koordinate B koordinat A:

Ab = (0-2) Yo + (1-1) J + (1-3) k = -2Yo + 0J -2 k

Nadaljujte na enak način, da najdete vektor AC:

AC = (4-2) Yo + (2-1) J + (1-3) k = 2Yo + J -2 k

Izračun vektorskega izdelka Ab x ac

Obstaja več postopkov za iskanje vektorskega izdelka med dvema vektorjem. V tem primeru se uporablja mnemonski postopek, ki uporablja naslednjo sliko za iskanje vektorskih izdelkov med enotami vektorjev Yo, J in K:

Slika 4. Grafiko za določitev vektorskega izdelka med vektorji enote. Vir: Self Made.

Za začetek si je dobro zapomniti, da so vektorski izdelki med vzporednimi vektorji praznini, zato:

Yo x Yo = 0; J x J = 0; k x k = 0

In ker je vektorski izdelek še en vektor, pravokoten na sodelujoče vektorje, ki se premika v smeri rdeče puščice, ki jo imate:

Yo x J = k ; J x k = Yo; k x Yo = J

Če se morate premikati v nasprotju s puščico, se doda znak (-):

J x Yo = - k; k x J = -Yo; Yo x k = -J

Skupno je mogoče izdelati 9 vektorskih izdelkov z enotnimi vektorji Yo, J in k, od tega bodo 3 praznine.

Ab x AC = (-2Yo + 0J -2 k) X (2Yo + J -2 k) = -4 (Yo x Yo) -2 (Yo x J) +4 (Yo x k) +0 (J x Yo) + 0 (J x J) - 0 (J x k) - 4 (k x Yo) -2 (k x J) + 4 (k x k) = -2k-4J-4J+2Yo = 2Yo -8J-2k

Enačba ravnine

Vektor n je bil določen s predhodno izračunanim vektorskim izdelkom:

Vam lahko služi: nihalo gibanje

N = 2Yo -8J-2k

Zato je A = 2, B = -8, C = -2, iskani načrt je:

AX + by + Cz + d = 0 → 2x-8y-2Z + d = 0

Vrednost d. To je enostavno, če so vrednosti katere koli od točk A, B ali C, od katerih so na voljo v enačbi ravnine. Izbira C na primer:

x = 4; y = 2; Z = 1

Je ostalo:

2.4 - 8.2 - 2.1 + d = 0

-10 + d = 0

D = 10

Skratka, želena ravnina je:

2x-8y-2Z +10 = 0

Rakcijski bralec se lahko vpraša, ali bi bil enak rezultat pridobljen, če namesto tega Ab x AC Izbrano bi bilo AC x Ab. Odgovor je pritrdilen, ravnina, ki jo določa te tri točke, je edinstvena in ima dva normalna vektorja, kot je prikazano na sliki 2.

Kar zadeva izbrano točko kot izvor vektorjev, tudi pri izbiri nobenega od drugih ni neprijetnosti.

Reference

1. Figueroa, d. (2005). Serija: Fizika za znanost in inženiring. Zvezek 1. Kinematika. Uredil Douglas Figueroa (USB). 31-62.
2. Iskanje normalnega do letala. Pridobljeno iz: splet.ma.Utexas.Edu.
3. Larson, r. (1986). Izračun in analitična geometrija. MC Graw Hill. 616 - 647.
4. Vrstice in načrti v R 3. Okrevano od: matematika.Harvard.Edu.
5. Običajni vektor. Okreval od MathWorld -a.Wolfram.com.