Teorem Moivre

Pojasnjujemo, kaj je Moivreov izrek, pokažemo in predlagamo rešene vaje

Kaj je Movreov teorem?

On Teorem Moivre Uporabite temeljne procese algebre, kot so moči in ekstrakcija korenin v zapletenem številu. Teorem je izjavil priznani francoski matematik Abraham de Movre (1730), ki je zapletene številke povezal s trigonometrijo.

Abraham Moivre je to povezavo naredil skozi izraze dojk in Coseno. Ta matematik je ustvaril nekakšno formulo, skozi katero je mogoče.

Pojasnilo

Movreov teorem vzpostavlja naslednje:

Če imate zapleteno številko v polarni obliki z = r_Ɵ, kjer je r modul kompleksne številke z, kot kota ɵ pa se imenuje amplituda ali argument katere koli zapletene številke z 0 ≤ ɵ ≤ 2π Twece; to pomeni, da ni treba narediti naslednjega izdelka:

Zⁿ = z _* z _* z_{*… *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ *… *} r_Ɵ   N-y.

Za Contario teorem pravi, da pri pisanju Z v svoji trigonometrični obliki izračunamo edino moč, nadaljuje na naslednji način:

DA Z = R (cos ɵ + i _* greh ɵ) potem zⁿ = rⁿ (cos n*ɵ + i _* sin n*ɵ).

Na primer, če je n = 2, potem z² = r²[Cos 2 (ɵ) + I Sen 2 (ɵ)]. Če morate n = 3, potem z³ = z² _* z. Poleg:

z³ = r²[Cos 2 (ɵ) + I Sen 2 (ɵ)] _* R [cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] = r³[Cos 3 (ɵ) + I Sen 3 (ɵ)].

Na ta način lahko trigonometrične razloge dojke in kosinusa dobimo za večkratnike kota, dokler so trigonometrični razlogi kota znani.

Na enak način ga lahko uporabimo za iskanje natančnejših in manj zmedenih izrazov za n -te korenine kompleksne številke Z, tako da je zⁿ = 1.

Za dokazovanje Moivrejevega teorema se uporablja načelo matematične indukcije: če ima celo število "A" lastnost "P", in če za katero koli celo število "N" večje od "A", ki ima lastnost "P" Se. + 1 ima tudi lastnost "P", tako da so vsa celotna številka večja ali enaka, da imajo "A" lastnost "P".

Demonstracija Moivrejevega teorema

Na ta način se demonstracija teorema opravi z naslednjimi koraki:

Induktivna osnova

Najprej preverimo n = 1.

Vam lahko služi: curtoza: definicija, vrste, formule, za kaj je na primer

Kot z¹ = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ))¹ = r¹ (Cos ɵ + i _* Sen ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* Sen (1_* Ɵ)], mora n = 1 izpolnjen teorem.

Induktivna hipoteza

Formula naj bi veljala za nekaj pozitivnega števila, to je n = k.

z^k = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ))^k  = r^k (cos k ɵ + i _* greh k ɵ).

Preverjanje

Dokazano je, da velja za n = k + 1.

Kot z^K+1= z^k _* Z, potem z^K+1 = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ))^K+1 = r^k (Cos kɵ + i _* greh kɵ) _*  R (cos ɵ + i_* Senɵ).

Potem se izrazi pomnožijo:

z^K+1 = r^K+1((cos kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Yo_*sinɵ) + (i _* greh kɵ)_*(cosɵ) + (i _* greh kɵ)_*(Yo_* Senɵ)).

Za trenutek se faktor r prezre^K+1,  In dobiš skupni faktor I:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + i (sen kɵ)_*(cosɵ) + i²(Sen Kɵ)_*(Senɵ).

Kot jaz² = -1, nadomestimo ga v izrazu in dobimo:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + i (sen kɵ)_*(cosɵ) - (greh kɵ)_*(Senɵ).

Zdaj je urejen resnični in namišljeni del:

(cos kɵ)_*(cosɵ) - (greh kɵ)_*(sinɵ) + i [(greh kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Senɵ)].

Za poenostavitev izražanja se uporabijo trigonometrične identitete kotov za kosinus in sinus, ki so:

cos (a+b) = cos a _* cos b - sen a _* greh b.

greh (a+b) = sen a _* cos b -cos a _* cos b.

V tem primeru so spremenljivke kota ɵ in kɵ. Z uporabo trigonometričnih identitet imate:

cos kɵ _* cosɵ -  greh kɵ _* sinɵ = cos (kɵ + ɵ)

greh kɵ _* cosɵ + cos kɵ _* greh = greh (kɵ + ɵ)

Na ta način ostaja izraz:

z^K+1 = r^K+1 (cos (kɵ + ɵ) + i _* greh (kɵ + ɵ))

z^K+1 = r^K+1(cos [(k +1) ɵ] + i _* greh [(k +1) ɵ]).

Tako bi lahko dokazali, da rezultat velja za n = K+1. Po načelu matematične indukcije je sklenjeno, da rezultat velja za vsa pozitivna cela števila; to je n ≥ 1.

Negativna celota

Teorem Moivre se uporablja tudi, ko n ≤ 0. Upoštevajmo negativno celoto "n"; Potem lahko "n" zapišemo kot "-M", to je n = -M, saj je "m" pozitivno celo število. Zato:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = (cos ɵ + i _* Sen ɵ) ^-m

Če želite pozitivno pridobiti eksponent "m", je izraz napisan v obratni:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos ɵ + i _* Sen ɵ) ^m

Vam lahko služi: NULL kot: definicija in značilnosti, primeri, vaje

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mɵ + i _* greh mɵ)

Zdaj se uporablja, če je z = a+b*i zapletena številka, potem 1 ÷ z = a-b*i. Zato:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = cos (mɵ) - i _* Sen (mɵ).

Z uporabo tega cos (x) = cos (-x) in to -sen (x) = sen (-x) mora:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = [cos (mɵ) - i _* greh (mɵ)]

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = cos (- mɵ) + i _* Sen (-Mɵ)

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = cos (nɵ) - i _* greh (nɵ).

Na ta način lahko rečemo, da teorem velja za vse celotne vrednosti "n".

Rešene vaje

Pozitivni izračun moči

Ena od operacij s kompleksnimi številkami v njegovi polarni obliki je množenje med dvema od njih; V tem primeru se moduli množijo in dodani argumenti.

Če imate dve kompleksni številki Z₁ in z₂ In želite izračunati (z₁*z₂)², Nato nadaljujte na naslednji način:

z₁z₂ = [r₁ (cos ɵ₁ + Yo _* Sen ɵ₁)] * [R₂ (cos ɵ₂ + Yo _* Sen ɵ₂)

Uporablja se distribucijska lastnost:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos ɵ_1* cos ɵ₂ + Yo _* cos ɵ_1* Yo _* Sen ɵ₂ + Yo _* Sen ɵ_1* cos ɵ₂ + Yo²_* Sen ɵ_1* Sen ɵ₂).

Združeni so in rišejo izraz "i" kot skupni dejavnik izrazov:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos ɵ_1* cos ɵ₂ + I (cos ɵ_1* Sen ɵ₂ + Sen ɵ_1* cos ɵ₂) + i²_* Sen ɵ_1* Sen ɵ₂]

Kot jaz² = -1, v izrazu je nadomeščen:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos ɵ_1* cos ɵ₂ + I (cos ɵ_1* Sen ɵ₂ + Sen ɵ_1* cos ɵ₂) - sen ɵ_1* Sen ɵ₂]

Resnični izrazi z resničnimi in namišljenimi z namišljenimi se preusmerijo:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos ɵ_1* cos ɵ₂ - Sen ɵ_1* Sen ɵ₂) + i (cos ɵ_1* Sen ɵ₂ + Sen ɵ_1* cos ɵ₂)

Končno se uporabljajo trigonometrične lastnosti:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (ɵ ɵ₁ + Ɵ₂).

V zaključku:

(z₁*z₂)²= (r₁ r₂ [cos (ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (ɵ ɵ₁ + Ɵ₂))²

= R₁²r₂²[cos 2*(ɵ₁ + Ɵ₂) + i greh 2*(ɵ₁ + Ɵ₂).

Vaja 1

Zapišite kompleksno številko v polarno obliko, če je z = - 2 -2i. Nato z uporabo Moivrejevega teorema izračunajte z⁴.

Rešitev

Kompleksna številka z = -2 -2i je izražena v pravokotni obliki z = a +bi, kjer:

A = -2.

B = -2.

Vedeti, da je polarna oblika z = r (cos ɵ + i _* Sen ɵ), je treba določiti vrednost modula "R" in vrednost argumenta "ɵ”. Kot r = √ (a²+b²) se dane vrednosti zamenjajo:

Lahko vam služi: trigonometrične funkcije: Osnovne, v kartezijanski ravnini, primeri, vadba

R = √ (a²+b²) = √ ((-2) ²+(-2) ²)

= √ (4+4)

= √ (8)

= √ (4*2)

= 2√2.

Nato se za določitev vrednosti "ɵ" uporablja pravokotna oblika tega, ki jo daje formula:

Torej ɵ = b ÷ a

Tan ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Kot (ɵ) = 1 in mora<0, entonces se tiene que:

Ɵ = Arcan (1) +π.

= Π/4 +π

= 5π/4.

Kot že doseženo z vrednostjo "r" in "ɵ", se lahko kompleksno število z = -2 -2i izrazi v polarni obliki, ki nadomešča vrednosti:

Z = 2√2 (cos (5π/4)+ i _* greh (5π/4)).

Zdaj se Movreov izrek uporabljene za izračun z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5π/4)+ i _* greh (5π/4))⁴

= 32 (cos (5π)+ i _* greh (5π)).

Vaja 2

Poiščite produkt zapletenih števil, ki ga izražajo v svoji polarni obliki:

Z1 = 4 (cos 50^tudi + Yo_* Sen 50^tudi)

Z2 = 7 (cos 100^tudi + Yo_* Sen 100^tudi).

Nato izračunajte (z1*z2) ².

Rešitev

Najprej se oblikuje izdelek danih števil:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^tudi + Yo_* Sen 50^tudi)] * [7 (cos 100^tudi + Yo_* Sen 100^tudi)

Nato se moduli med seboj pomnožijo in dodani so argumenti:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [COS (50^tudi + 100^tudi) + i_* Sen (50^tudi + 100^tudi)

Izraz je poenostavljen:

z₁ z₂ = 28 _* (COS 150^tudi + (Yo_* Sen 150^tudi).

Končno velja Movreov izrek:

(Z1*z2) ² = (28 _* (COS 150^tudi + (Yo_* Sen 150^tudi)) ² = 784 (cos 300^tudi + (Yo_* Sen 300^tudi).

Izračun negativnih moči

Za delitev dveh zapletenih številk z₁ in z₂ V svoji polarni obliki je modul razdeljen in argumenti se odštejejo. Tako je količnik z₁ ÷ z₂ In izraženo je na naslednji način:

z₁ ÷ z₂ = R1/r2 ([cos (ɵ₁- Ɵ₂) + i sen (ɵ ɵ₁ - Ɵ₂)).

Kot v prejšnjem primeru, če želite izračunati (z1 ÷ z2) ³, je delitev prvi učinki in potem se uporablja teorem Moivre.

Vaja 3

Košare:

Z1 = 12 (cos (3π/4) + i*sin (3π/4)),

Z2 = 4 (cos (π/4) + i*sin (π/4)),

Izračunajte (z1 ÷ z2) ³.

Rešitev

Po zgoraj opisanih korakih je mogoče sklepati, da:

(Z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π/4 - π/4) + i*sin (3π/4 - π/4)) ³

= (3 (cos (π/2) + i*sin (π/2)) ³

= 27 (cos (3π/2) + i*sin (3π/2)).

Reference

1. Arthur Goodman, L. H. (devetnajst devetdeset šest). Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Pearson Education.
2. Croucher, m. (s.F.). Avtor Moivreov teorem za Trig identitete. Projekt demonstracij Wolfram.
3. Hazewinkel, m. (2001). Enciklopedija matematike.
4. Max Peters, w. L. (1972). Algebra in trigonometrija.
5. Pérez, c. D. (2010). Pearson Education.
6. Stanley, g. (s.F.). Linearna algebra. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Prequalculus. Pearson Education.