Pravila izpeljave (s primeri)

Kakšna so pravila izpeljave?

The Pravila Derrying So nabor indikacij, ki jih je treba slediti, da bi našli navadno derivat resnične spremenljive funkcije f (x).

Navadni derivat funkcije f (x), označeno kot f '(x), se razlaga kot trenutni menjalni tečaj omenjene funkcije glede na spremenljivko x. Grafično je derivat naklon tangentne črte do krivulje F (x), izračunano na določeni točki, katere koordinata je x_tudi, kot je prikazano na spodnji sliki.

Derivat kot naklon črte tangenta do f (x) na določeni točki. Vir: Wikimedia Anemos/Modified s. Zapata.

Zdaj se analitično derivat izračuna skozi naslednjo mejo:

Torej je treba vsakič, ko je potreben izpeljanka neke funkcije, oceniti mejo, kot je navedeno. Vendar pa obstajajo pravila odmika.

Kakšna so pravila izpeljave?

Spodaj prikazana pravila o izpeljavi se zlahka pridobijo s formalno derivatno definicijo.

1. Takojšnji derivati

Izhaja iz konstante

Derivat konstante K je 0:

f (x) = k ⇒ f '(x) = 0

• Primer

f (x) = 5, nato f '(5) = 0

Izhaja iz x

Derivat f (x) = x je vedno 1, torej to:

f (x) = x, nato f '(x) = 1

2. Izpeljana linearna funkcija

Linearna funkcija ima obrazec:

f (x) = sekira

Kjer je A realna številka.

Njegov izpeljan je:

f '(x) = a

• Primer

Naj bo f (x) = 3x, potem:

f '(x) = 3

3. Izhaja iz vsote

Če je F (x) vsota ali odštevanje dveh funkcij U in V, obe različni:

f (x) = u ± v

Tako:

f '(x) = u' (x) ± v '(x)

Izhaja iz povezane funkcije

Povezana funkcija je vsota dveh izrazov:

Vam lahko služi: kombinirane operacije

f (x) = sekira + b

Kjer sta A in B resnična številka. Uporaba vsote vsote:

f '(x) = (ax)' + (b) '

Toda:

(AX) '= A (pravilo 2)

(b) '= 0 (pravilo 1)

Zato:

f '(x) = a

• Primer

Derivat f (x) = −8x + 6 je:

f '(x) = (−8x)' + (6) '= −8

4. Izhaja iz moči

Primer 1

Naj bo f (x) potencialna funkcija oblike f (x) = xⁿ, tako:

f (x) = xⁿ ⇒ f '(x) = n ∙ x^{N - 1}

• Primer

Ko je izpeljan:

f (x) = x³

Rezultat:

f '(x) = 3⋅x³⁻¹ = 3x²

Primer 2

Če ima funkcija obrazec f (x) = sekiraⁿ, Kjer je A realna številka, izhaja iz izpeljane:

f '(x) = a ∙ nx^{N - 1}

• Primer

Izpelje:

f (x) = 4x⁵

Je pridobljeno:

f '(x) = 4 ∙ 5 x⁵⁻¹ = 20x⁴

Primer 3

Če je eksponent delni, nadaljuje na enak način, kot je bilo razloženo v primerih 1 in 2. To se zgodi, ko je spremenljivka x najdena kot argument korena.

• Primer

Biti funkcija:

f (x) = 3x^3/2

Derivat je:

 Če želite pisati v obliki korena:

5. Izdelan izdelek

Pravilo izdelka velja za funkcije v obliki izdelka med dvema funkcijama U in V, obe različni:

f (x) = u ∙ V

f '(x) = u' ∙ v + u ∙ V '

To pomeni, da je derivat izdelka dveh funkcij izpeljan prvega, drugega brez izpeljanja, plus prvi brez izpeljanja, pomnoženo z derivatom drugega.

• Primer

Poiščite po pravilu izdelka in zgoraj opisanih pravilih izpeljan:

G (x) = (2x+3) (4x²−1)

Prva stvar je, da se odločite, kdo sta U in V, in se spomnimo, da vrstni red dejavnikov ne spremeni izdelka, ampak jih je mogoče izbrati na ta način:

• U = 2x+3
• V = 4x²−1

Nato se dvigne pravilo izdelka in navedeni derivati ​​se rešijo v skladu z zgoraj opisanimi pravili:

G '(x) = (2x+3)' (4x²−1) + (2x + 3) (4x²−1) '

Vam lahko služi: linearno programiranje: za kaj je, modeli, omejitve, aplikacije

Moraš:

• (2x+3) '= 2
• (4x²−1) '= 8x

Zamenjava:

G '(x) = 2x (4x²−1)+(2x+3) 8x

Derivat je že pripravljen, vendar je izraz še vedno lahko dejavnik:

G '(x) = 2x [4x²−1+8 (2x+3)] =

= 2x [4x²−1+16x+24] =

= 2x (4x²+16x+23)

Ta rezultat lahko dobite tudi s predhodno uporabo distribucijske lastnosti za izdelek (2x+3) (4x²−1) in nato uporaba pravil od 1 do 4. Ostane kot vaja za bralca.

6. Izhaja iz količnika

Biti funkcija oblike:

S pogojem v ≠ 0 in da sta oba, u in V. V tem primeru se njegov izpeljanka izračuna skozi:

• Primer

Poiščite izpeljanko:

Za ta primer morate:

• U = x+1
• v = x²

Razmerje pravila količnika vodi do:

Za katero je treba nadomestiti naslednje:

• (x+1) '= 1
• (x²) '= 2x
• (x²)² = x⁴

In ko ga zamenjate, je:

Z uporabo distribucijske lastnosti v števcu in zmanjšanje izrazov je izraz za f '(x):

Vaja bi lahko rešili na drug način, prepisali f (x) kot:

f (x) = (x+1) ∙ x⁻²

In nato uporaba pravila izdelka in nekaj algebre. Za bralca je ostala kot vaja, da preveri, ali je pridobljen enak rezultat.

7. pravilo verige

Uporablja se za sestavljene funkcije, obrazec:

f = f (u)

Kjer u = g (x)

Njegov izpeljan se izvaja na naslednji način:

f '(x) = f' (u) ∙ u '= f' [g (x)] ∙ g '(x)

A g '(x) je znan kot Notranje derivat. Uporaba pravila verige je lažja, kot se zdi na prvi pogled, glej ta primer:

• Primer

Če uporabite pravilo verige, poiščite izpeljan:

f (x) = (2x²-1)⁷

u = g (x) = 2x²-1

Zato f (u) = u⁷ In njen izpeljan, v skladu s pravilom 4 je:

f '(u) = 7U⁶ = 7 (2x²-1)⁶

Ta rezultat je shranjen in izračuna se notranji derivat G '(x):

G '(x) = u' = (2x²-1) '= (2x²) '-(1)'

Tu je treba zaporedoma uporabiti pravila: 3 (za vsoto/odštevanje funkcij), 4 (za moči) in 1 (za izpeljavo konstante).

Lahko vam služi: Teorija čakalnih vrst: Zgodovina, model, kaj je za to in primere za

Je pridobljeno:

G '(x) = (2x²) '-(1)' = 4x

Zadnji korak je pomnožiti rezultate:

f '(x) = 7 (2x²-1)⁶∙ 4x

In končno preuredite dejavnike:

f '(x) = 28x ∙ (2x²-1)⁶

8. Izhaja iz trigonometričnih funkcij

Derivati ​​trigonometričnih funkcij so:

• Primer

Izpelje:

H (x) = greh (4x)

Naredite U = 4x in uporabite pravilo verige:

H '(x) = 4cos (4x)

9. Izhaja iz inverznih trigonometričnih funkcij

Prikazani so v naslednji tabeli:

• Primer

Izpelje:

g (x) = arct tg (-2x)

Vedno upoštevajte pravilo verige, u = -2x je opravljen in derivat je:

10. Izhaja iz eksponentnih in logaritmičnih funkcij

Eksponentna funkcija

Če je osnova številka E:

f (x) = e^x ⇒ f '(x) = e^x

Ko je osnova številka A:

f (x) = a^x ⇒ f '(x) = (ln a) ∙ a^x

Logaritmična funkcija

Ko izhaja neperijska funkcija logaritma:

f (x) = ln x

V primeru logaritma v drugi bazi:

f (x) = dnevnik_do x

• Primer

Izpelje:

H (x) = x ∙ lnx

enajst. Implicitna derivat

Uporabljajo se, kadar očistek y (x) ni takojšen, zato za F (x) ni izrecnega izraza, kot v prejšnjih primerih. Kljub temu je mogoče najti derivat s postopkom, ki je prikazan v naslednjem primeru:

• Primer

Implicitno izpeljajte naslednji izraz za iskanje in ':

4x³+11xy²−2y³ = 0

Kot lahko vidite, ni enostavno najti in neposredno, odvisno od X, zato se za iskanje zahtevanih derivatov uporabljajo opisana pravila, ki se nanašajo na obe strani enakosti:

(4x³) '+ [11 (x)'+ 11x (in²) '] - (2y³) '= 0 (pravilo vsote in pravilo izdelka)

Cilj je razčistiti in ', kar je iskan izpeljan, za katerega se uporablja verižna pravilo:

12x² + [11 + 11x ∙ 2yy '] - 6y²in '= 12x² + 11 + 22xy ∙ in ' - 6y² ∙ in '= 0

in '∙ (22xy - 6y²) + 12x² + 11 = 0