Izračun pristopa z uporabo diferencialov

Pristop v matematiki je številka, ki ni natančna vrednost nečesa, vendar je tako blizu, kar se šteje za koristno kot natančno vrednost.

Ko se v matematiki izvajajo pristopi, je to zato, ker je ročno (ali včasih nemogoče) vedeti natančno vrednost tega, kar želite.

Glavno orodje pri delu s pristopi je razlika funkcije. Razlika funkcije F, označena z ΔF (x), ni nič drugega kot derivat funkcije f, pomnoženo s spremembo neodvisne spremenljivke, torej Δf (x) = f '(x)*Δx.

Včasih se uporabljata DF in DX namesto ΔF in Δx.

Pristopi z uporabo diferenciala

Formula, ki se uporablja za izvajanje približevanja skozi diferencialno.

To formulo daje:

f (x) ≈ F (x0) + f '(x0)*(x-x0) = f (x0) + f' (x0)*Δx.

Tu se razume, da je Δx = x-x0 torej x = x0+Δx. Z uporabo tega lahko formulo na novo napišete kot

F (x0 + Δx) ≈ F (x0) + f '(x0)*Δx.

Treba je opozoriti, da "x0" ni poljubna vrednost, ampak da je takšna vrednost, da je F (x0) zlahka znan; Poleg tega je "f (x)" le vrednost, ki jo želimo pristopiti.

Ali obstajajo boljši pristopi?

Odgovor je pritrdilen. Prejšnja je najpreprostejša pristopa, imenovana "linearni pristop".

Za boljše pristope kakovosti (napaka je nižja) se uporabljajo polinomi z več derivati, imenovanimi "taylor polinomi", pa tudi druge numerične metode, kot je Newton-Raphson Method.

Strategija

Strategija, ki jo je treba slediti, je:

- Izberite ustrezno funkcijo F za izvedbo približka in vrednosti "x", ki je f (x), je vrednost, ki jo želite približati.

- Izberite vrednost "x0", blizu "x", tako da je F (x0) enostavno izračunati.

- Izračunajte Δx = x-x0.

- Izračunajte izpeljano funkcijo in f '(x0).

- Zamenjajte podatke v formuli.

Rešene približevalne vaje

V tem, kar se nadaljuje, obstajajo številne vaje, pri katerih se približajo z uporabo diferenciala.

1. Prva vaja

Približno √3.

Rešitev

Po strategiji morate izbrati ustrezno funkcijo. V tem primeru je razvidno, da mora biti funkcija, ki jo je treba izbrati.

Zdaj morate izbrati vrednost "x0" blizu "3", tako da je F (x0) enostavno izračunati. Če je izbran "x0 = 2", mora biti "x0" blizu "3", vendar f (x0) = f (2) = √2 ni enostavno izračunati.

Vrednost "x0", ki ustreza, je "4", ker je "4" blizu "3" in tudi f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Če je "x = 3" in "x0 = 4", potem Δx = 3-4 = -1. Zdaj se izračuna derivat F. Torej f '(x) = 1/2*√x, tako da je f' (4) = 1/2√4 = 1/2*2 = 1/4.

Nadomeščanje vseh vrednosti v formuli je doseženo:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4)*( - 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Če se uporablja kalkulator, dobimo, da √3≈1.73205 ... To kaže, da je prejšnji rezultat dober približek resnične vrednosti.

2. Druga vaja

Približno √10.

Rešitev

Kot prej je izbrana kot funkcija f (x) = √x in v tem primeru x = 10.

Vrednost X0, ki jo je treba izbrati ob tej priložnosti, je "x0 = 9". Potem je potrebno.

Pri ocenjevanju v formuli dobimo to

√10 = f (10) ≈ 3 + 1*1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ..

Uporaba kalkulatorja je pridobljen, da je √10 ≈ 3.1622776 ... tukaj lahko vidite tudi, da je bil dober pristop dobil že prej.

3. Tretja vaja

Približno ³√10, kjer ³√ označuje kubično korenino.

Rešitev

Jasno je, da je funkcija, ki jo je treba uporabiti pri tej vaji, f (x) = ³√x in vrednost "x" mora biti "10".

Vrednost, ki je blizu "10", tako da je njegova kubična korenina znana, je "x0 = 8". Potem morate Δx = 10-8 = 2 in f (x0) = f (8) = 2. Prav tako morate f '(x) = 1/3*³√x² in posledično /12.

Zamenjava podatkov v formuli se pridobi:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12)*2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.16666 .. .

Kalkulator pravi, da je ³√10 ≈ 2.15443469… Zato je najdeni približek dober.

4. Četrta vaja

Približno ln (1.3), kjer "ln" označuje funkcijo naravnega logaritma.

Rešitev

Najprej je izbran za funkcijo f (x) = ln (x) in vrednost "x" je 1.3. Zdaj, če veste malo o funkciji logaritma, lahko veste, da je ln (1) = 0, tudi "1" pa je blizu "1.3 ". Zato je izbrana „x0 = 1“ in tako Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

Po drugi strani pa f '(x) = 1/x, tako da je f' (1) = 1. Pri ocenjevanju v dani formuli morate:

ln (1.3) = F (1.3) ≈ 0 + 1*0.3 = 0.3.

Pri uporabi kalkulatorja morate LN (1.3) ≈ 0.262364 ... tako da je dosežen približek dober.