Fizično

Poissonov koeficient koeficienta, formule, vrednosti, primeri

Poissonov koeficient koeficienta, formule, vrednosti, primeri

On Poissonov koeficient Je brezdimenzionalna količina, značilna za vsak material. To je pokazatelj deformacije kosa materiala pred uporabo določenih prizadevanj.

Ko materialni kos, ki se podvrže napetosti ali stiskanju, trpi deformacijo, je količnik med prečno deformacijo in vzdolžno deformacijo natančno Poissonov koeficient.

Slika 1. Poissonov koeficient meri razmerje med vzdolžnim raztezanjem in prečnim zoženjem. (Pripravil Ricardo Pérez)

Na primer, gumijasti cilinder, ki je pod napetostjo na njegovih koncih, je raztegnjen v vzdolžni smeri, vendar je prečno ozka. Slika 1 prikazuje vrstico, katere izvirne dimenzije so: Long L in premer D.

Palica je podvržena t napetosti na njegovih koncih, zato zaradi te napetosti trpi raztezanje, tako da je nova dolžina l '> l. Toda pri raztezanju se na novo vrednost pojavi tudi zoženje njegovega premera: D ' < D.

Količnik med raztezanjem (pozitivno) in zoženjem (negativno), pomnoženo z (-1), je pozitivno število med 0 in 0,5. Ta številka je tako imenovani koeficient Poisson ν (grško pismo).

[TOC]

Poissonova formula koeficienta

Za izračun Poissonovega koeficienta je potrebno določiti vzdolžno in prečno enoto deformacije.

Deformacija vzdolžne enote εL To je razteg, razdeljen med prvotno dolžino:

εL = (L ' - l) / l

Podobno je prečna enotna deformacija εT To je radialno zoženje, razdeljeno med prvotnim premerom:

εT = (D ' - d) / d

Zato se Poissonov koeficient izračuna z naslednjo formulo:

ν = - εT / εL 

Odnos z modulom elastičnosti in modulom togosti

Poisson ν koeficient je povezan z modulom In elastičnosti (ali mladega modula) in z modulom togosti G, po naslednji formuli:

Vam lahko služi: geometrijska optika: katere študije, zakoni, aplikacije, vaje

ν = e /(2g) - 1

Poissonova vrednost koeficienta za materiale

Slika 2. Nerjavno jeklo ima Poissonov koeficient med 0,30 in 0,31. Vir: Pixabay.

Primeri izračuna

Primer 1

Bar z določenim plastičnim materialom ima dolžino 150 mm in krožni del premera 20 mm. Ko je stiskalna sila 612,25 kg-F podvržena kompresijski sili, opazimo skrajšanje 14 mm in hkrati povečanje za 0,85 mm v premeru palice.

Izračunati:

a) vzdolžna enotna deformacija.

b) prečna enotna deformacija.

c) Poissonov koeficient tega gradiva.

d) mladičev modul elastičnosti, ki ustreza materialu.

e) modul togosti za to plastiko.

Rešitev

Spomnimo se, da je deformacija vzdolžne enote εl raztežaj, deljen s prvotno dolžino:

εl = (l ' - l) / l

εl = (-14 mm) / 150 mm = -0.0933

Upoštevajte, da je vzdolžna enotna deformacija brezdimenzionalna in v tem primeru je dala negativno, ker je prišlo do zmanjšanja njegove vzdolžne dimenzije.

Rešitev b

Podobno je enotna prečna deformacija εt radialno zoženje, deljeno s prvotnim premerom:

εt = (d ' - d) / d

εt = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

Prečna enotna deformacija je bila pozitivna, ker je prišlo do povečanja premera palice.

Rešitev c

Za izračun Poissonovega koeficienta se moramo spomniti, da je opredeljen kot negativni količnik med prečno deformacijo in vzdolžno deformacijo:

ν = - εt / εl 

ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Ne pozabite, da je Poissonov koeficient pozitivno brezdimenzionalno število, za večino materialov pa je med 0 in 0,5.

Vam lahko služi: Darcy Law

Rešitev d

Young's Elastity Modul, označen s črko E, je sorazmernost v Hookejevem zakonu. Skozi E je normalen napor σl povezan z enotno deformacijo εL, kot sledi:

σl = e εl 

Običajni napor je opredeljen kot količnik med normalno silo (v tem primeru vzporedno z osi palice) in presekom:

σl = f / a = f / (π / 4 * d^2)

V tej vaji je sila F 612,25 kg-f, kar bo narejeno Newtonsu, kar je enota sile:

F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 n = 6000 n = 6 kn

Prerez A je s svojim delom:

A = (π/4 * d^2) = (3,1416/4) * (20 * 10^-3 m)^2 = 3,1416 * 10^-4 M^2

Končno je običajni napor, ki se uporablja za bar,:

σl = f / a = 6000 n / 3,1416 * 10^-4 m^2 = 19.098.593 PA = 19.098 MPA

Za izračun modula za elastičnost Young smo očiščeni in Hookeovega zakona σl = e εl:

E = σl / εl = 19.098.593 PA / 0,0933 = 204,7 MPA

Rešitev e

Modul R togosti je povezan z Youngovim EG modulom in Poisson ν koeficient s to formulo:

E / (2 g) = 1 + ν 

Od tam lahko očistite G:

G = e / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPA / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPA

Primer 2

Imate kabel 4 mm in 1 m dolg premer. Ker ve, da je bakreni mladi modul 110000 MPa in da je njegov Poissonov koeficient 0,34, ocenjuje, da se razteza in zoži v premeru.

Rešitev

V prvi vrsti je treba izračunati normalno vlečno naporo, ki ga teža izvaja na žici po tej formuli:

Vam lahko služi: vektorji v vesolju: kako graditi, aplikacije, vaje

σl = f / a = f / (π / 4 * d^2)

Sila F je 980 N, presek pa je:

A = (π/4 * d^2) = (3,1416/4) * (4 * 10^-3 m)^2 = 1.2566 * 10^-5 M^2

Potem je vlečni napor:

σl = 980 n / 1,2566 * 10^-5 m^2 = 77.986.000 Pa

Izračun enotne deformacije žice

Young's Elastity Modul, označen s črko E, je konstanta sorazmernosti v Hookejevem zakonu, ki se nanaša na normalen napor σl z enotno deformacijo εl:

σl = e εl 

Od tam se lahko odstrani vzdolžna enotna deformacija bakrene žice:

εl = σl / e = 77,986 MPA / 110000 MPA = 7,09 * 10^-4

Izračun prečne enotne deformacije

Po drugi strani se za poznavanje prečne enotne deformacije uporablja Poissonov koeficient:

ν = - εt / εl 

Končno morate prehodno enotno deformacijo: 

εt = -ν εl = -0,34 * 7,09 * 10 ^-4 = -2,41 * 10 ^-4

Kabel Absolutni izračun raztezanja

Končno, da poznamo absolutno raztezanje kabla, je treba uporabiti naslednje razmerje:

ΔL = εl * l = 7,09 * 10^-4 * 1 m = 7,09 * 10^-4 m = 0,709 mm

Torej s to težo se je kabel komaj raztegnil 0,709 milimetrov.

Izračun zmanjšanja premera

Za pridobitev absolutnega krčenja v premeru uporabljamo naslednjo formulo:

Δd = εt * d = -2,41 * 10 ^-4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^-4 mm = -0.000964 milimetrov.

Ta zoženje premera je tako majhno, da ga je težko ceniti s prostim očesom, tudi njegovo merjenje zahteva visoko natančnosti instrument.

Reference

  1. Pivo f ... Mehanika materiala. 5. Izdaja. 2010. MC Graw Hill. 1-130.
  2. Hibbeler R. Mehanika materialov. Osma izdaja. Dvorana Prentice. 2011. 3-60.
  3. Gere J. Mehanika materialov. Osma izdaja. Cengage učenje. 4-220.
  4. Giancoli, d. 2006. Fizika: načela z aplikacijami. 6. izd. Dvorana Prentice. 238-242.
  5. Valera Negrete, J. 2005. Splošne zapise o fiziki. Ne. 87-98.